数学建模

 

模型知识点

变化模型-微分方程-人口增长模型-理论

 

Wang Haihua

2022/04/21

🚅 🚋😜 🚑 🚔

人口增长模型

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

下表给出了近两个世纪的美国人口统计数据，我们以此研究人口增长模型。

import pandas as pd
df = pd.DataFrame()
df["年份"] = [i for i in  range(1790,2010,10)]
df["人口"] = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,
50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]
df.T

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
年份	1790.0	1800.0	1810.0	1820.0	1830.0	1840.0	1850.0	1860.0	1870.0	1880.0	...	1910.0	1920.0	1930.0	1940.0	1950.0	1960.0	1970.0	1980.0	1990.0	2000.0
人口	3.9	5.3	7.2	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4	38.6	50.2	...	92.0	106.5	123.2	131.7	150.7	179.3	204.0	226.5	251.4	281.4

2 rows × 22 columns

先简单通过散点图看一下人口的增长模式。

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.style.use('ggplot')  #设置绘图风格为ggplot
matplotlib.rcParams['font.size'] = 15  #设置全文绘图字体大小为15号字

year = [i for i in range(1790,2010,10)]
population = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,
50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]
plt.scatter(year,population)   #绘制散点图
plt.xlabel("Year")
plt.ylabel("Population(Million)")

Text(0, 0.5, 'Population(Million)')

指数增长模型

最简单的人口增长模型是公认的：记今年人口为$x_0$,$k$年后人口为$x_k$， 年增长率为$r$，则

$$ x_{k}=x_{0}(1+r)^{k} $$

显然，这个公式的基本条件是年增长率$r$保持不变,这个假设显然过于简单了。

200多年前英国人口学家T. Malthus (1766-1834)调查了英国100多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。 记时刻$t$的人口为$x(t)$，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，$x(t)$是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将$x(t)$视为连续、可微函数， 记初始时刻$(t=0)$的人口为$x_0$，假设人口增长率为常数$r$，即单位时间内$x(t)$的增量为等于$r$乘以$x(t)$，于是得到$x(t)$满足微分方程

$$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=r x, x(0)=x_{0} $$

由这个方程,通过分离变量法很容易解出其解析解:

分离变量法求解微分方程

先分离变量

$$ \frac{\mathrm{d} x}{x}=r \mathrm{d} t $$

两边同时积分

$$ \int \frac{\mathrm{d} x}{x} = \int r \mathrm{d} t $$

$$ \ln(x) = rt+C_1 $$

$$ x = e^{rt+C_1} $$

$$ x = Ce^{rt} $$

当$x=0$时，

$$ x(0) = C = x_0 $$

因此$C = x_0$

$$ x(t)=x_{0} e^{r t} $$

$r>0$时，上式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型．

模型的参数估计、检验和预报

我们来尝试用这个模型，带入19世纪的数据，预测20世纪的人口。

为了估计指数增长模型中的参数$r$和$x_0$，需将原式取对数，得

$$ y=r t+a $$

其中，

$$ y=\ln x, a=\ln x_{0} $$

显然，使用1790 - 1900的数据得到的指数模型预测效果不好，不能够准确地预测20世纪的人口增长情况。

• 历史上，指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代入口也大致符合这个模型。另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果。显然这是因为在这些情况下，人口增长率是常数这个基本假设大致成立。

• 但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上是在不断地变化着排除灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人口较少时 ，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。

如果根据上面给出的数据计算一下美国人口的年增长率

## 增长率可视化
year = [i for i in range(1790,2010,10)]
population = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,
50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]
## 计算增长率
rate = []
for i in range(len(population)-1):
    rate.append((population[i+1] - population[i])/ population[i])
## 可视化
plt.scatter(year[1:],rate)
plt.xlabel("Year")
plt.ylabel(r'$r$')

Text(0, 0.5, '$r$')

可以看到增长率从19世纪开始就基本上在缓慢下降。如果用一个平均的年增长率作为$r$，用指数增长模型描述美国人口的变化，会发现结果与实际数据相差很大。

看来，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。

阻滞增长模型一logistic模型

分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率$r$的影响上，使得$r$随着人口数$x$的增加而下降。若将$r$表示为$x$的函数$r(x)$，则它应是减函数。于是

$$ \frac{d x}{d t}=r(x) x, x(0)=x_{0} $$

对$r(x)$的一个最简单的假定是，设$r(x)$为$x$的线性函数，即

$$ r(x)=r-s x(r, s>0) $$

这里$r$称固有增长率，表示人口很少时（理论上是$x = 0$)的增长率．为了确定系数$s$的意义，引人自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量$x_m$，称人口容量．当 $x=x_m$时人口不再增长，即增长率$r(x_m)=0$

于是

$$ r(x)=r\left(1-x / x_{m}\right) $$

代回原方程，得到

$$ \frac{d x}{d t}=r x\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right), \quad x(0)=x_{0} $$

方程右端的因子$rx$体现人口自身的增长趋势，因子$(1-\dfrac{x}{x_m})$则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用．

显然．$x$越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果，上式称为阻滞增长模型,同样地，我们使用分离变量法求解这个方程

分离变量法求解logistic模型

原方程分离变量后 $$ \frac{\mathrm{d} x}{x\left(1-\dfrac{x}{x_{m}}\right)}=r \mathrm{d} t $$

等式左边变形 $$ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x_m - x} \right) \mathrm{d} x =r \mathrm{d} t $$

两边同时积分 $$ \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x_m - x} \right) \mathrm{d} x =\int r \mathrm{d} t $$

$$ \ln(x) - \ln(x_m - x) = rt +C $$

$$ \ln\left(\frac{x}{x_m -x}\right) = rt +C $$

两边同时取指数

$$ \frac{x}{x_m -x} = e^{rt +C} $$

得到 $$ x = \frac{x_m}{1+C_1e^{-rt}} $$

带入初始条件 $$ x(0) = \frac{x_m}{1+C_1} = x_0 $$ 得到 $$ C_1 = \frac{x_{m}}{x_{0}}-1 $$

最终得到 $$ x(t)=\frac{x_{m}}{1+\left(\frac{x_{m}}{x_{0}}-1\right) e^{-r t}} $$

上面的阻滞增长模型，是荷兰生物数学家Verhulst 19世纪中叶提出的．它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等）的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费品的销售就可以用它来描述。基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，人们常称它为logistic模型。

模型的参数估计、检验和预报

用阻滞增长模型进行人口预报，先要作参数估计．除了初始人口$x_0$外，还要估计$r$和$x_m$。它们可以用人口统计数据拟合得到，也可以辅之以专家的估计。

原方程可以写为 $$ \frac{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}{x}=r-s x, s=\frac{r}{x_{m}} $$

上式左端可以从实际人口数据用数值微分算出，右端对参数$r$,$s$是线性的,可借助最小二乘法获得。

参考文献

• ThomsonRen 的 github https://github.com/ThomsonRen/mathmodels