数学模型

Wang Haihua

🍈 🍉🍊 🍋 🍌

---

固定费用问题（Fixed cost problem）

概念

固定费用问题，是指求解生产成本最小问题。总成本包括固定成本和变动成本，而选择不同生产方式会有不同的固定成本，因此总成本与选择的生产方式有关。

固定费用问题，实际上是互斥的目标函数问题，对于不同的生产方式具有多个互斥的目标函数，但只有一个起作用。固定费用问题不能用一般的线性规划模型求解。

模型

一般地，设有 $m$ 种生产方式可供选择，采用第 $j$ 种方式时的固定成本为 $k_j$、变动成本为 $c_j$、产量为 $x_i$，则采用各种生产方式的总成本分别为：

$$ P_j = \begin{cases} k_j + c_j x_j,& x_j>0 \\ 0, & x_j=0 \end{cases} $$

这里 $j \in \{1,2,...,m\}$

为了构造统一的目标函数，可以引入 $m$ 个 $0-1$ 变量 $y_j$ 表示是否采用第 $j$ 种生产方式：

$$ y_j = \begin{cases} 1,& 采用第j 种生产方式 \\ 0, & 不采用第j种生产方式 \end{cases} $$

于是可以构造新的目标函数和约束条件： $$ \begin{aligned} &{\min \quad \sum_{j=1}^{m} (k_j y_j +c_j x_j)} \\ s.t. \quad & x_j \le y_j M, j \in \{1,2,...,m\} \end{aligned} $$

这里$M$ 是一个充分大的常数。

案例

问题

某服装厂可以生产 A、B、C 三种服装，生产不同种类服装需要租用不同设备，设备租金、生产成本、销售价格等指标如下表所示。如果各类服装的市场需求都足够大，对于不同服装，服装厂每月可用人工时分别为600，800，600，那么应该如何安排生产计划使利润最大？

	设备租金(元)	材料成本(元/件)	销售价格(元/件)	人工工时(小时/件)	设备工时(小时/件)	设备可用工时	人工可用工时
A	5000	280	400	5	3	300	600
B	2000	30	40	1	0.5	300	800
C	2000	200	300	4	2	300	600

分析

首先要理解生产某种服装就会发生设备租金，租金只与是否生产该产品有关，而与生产数量无关，这就是固定成本。因此本题属于固定费用问题。

建模

决策变量

• $y_i$:是否生产第 $i$ 种服装，$y_i$ 是 0-1变量：

$$ y_i = \begin{cases} 1,& 生产第i种服装 \\ 0, & 不生产第i种服装 \end{cases} $$

• $x_i$:生产第 $i$ 种服装的数量， 且$x_i$ 是整数。
• $K_i$:生产第 $i$ 种服装时的租金成本
• $C_i$:生产第 $i$ 种服装的材料成本
• $Tp_i$:生产第 $i$ 种服装的人工工时
• $Tm_i$:生产第 $i$ 种服装的设备工时
• $S_i$:第 $i$ 种服装的售价
• $T1_i$:生产第 $i$ 种服装人工可用工时
• $T2_i$:生产第 $i$ 种服装设备可用工时

目标函数与约束条件

$$ \begin{aligned} &{\max \quad \sum_{i=1}^3 (S_i-C_i)x_i - \sum_{i=1}^{3}K_i y_i} \\ s.t.&\left\{\begin{array}{ll} {\displaystyle\sum_{i=1}^{3} Tp_i x_i \le T1_i, i=1,2,3} \\ {\displaystyle\sum_{i=1}^{3} Tm_i x_i \le T2_i, i=1,2,3} \\ {\displaystyle x_i \le My_i, i=1,2,3} \\ {y_{i j}=0 或 1} \end{array}\right. \end{aligned} $$

模型求解

这里我们采用Pulp库进行求解,结果为

	产量
A	60
B	300
C	75

收入为8700元

---

import numpy as np
import pulp as lp
import pandas as pd
from model_insight.load_datasets import load_factory_clothes

fac = load_factory_clothes()

fac

	设备租金(元)	材料成本(元/件)	销售价格(元/件)	人工工时(小时/件)	设备工时(小时/件)	设备可用工时	人工可用工时
A	5000.0	280.0	400.0	5.0	3.0	300.0	600.0
B	2000.0	30.0	40.0	1.0	0.5	300.0	800.0
C	2000.0	200.0	300.0	4.0	2.0	300.0	600.0

fac.columns

Index(['设备租金(元)', '材料成本(元/件)', '销售价格(元/件)', '人工工时(小时/件)', '设备工时(小时/件)',
       '设备可用工时', '人工可用工时'],
      dtype='object')

# initialize the model and data
model = lp.LpProblem(name="factory_production",sense=lp.LpMaximize)

[K_,C_,S_,Tp_,Tm_,T1_,T2_]=['设备租金(元)', '材料成本(元/件)', '销售价格(元/件)', '人工工时(小时/件)', '设备工时(小时/件)',
       '设备可用工时','人工可用工时']
cloth_types = fac.index
M = 1000
# variables
xi = lp.LpVariable.dicts(name='production',indexs=cloth_types,cat='Continuous')
yi = lp.LpVariable.dicts(name='whether_use',indexs=cloth_types,cat='Binary')

# objective funtion
objective = lp.lpSum([xi[i]*(fac.loc[i,S_]-fac.loc[i,C_])-yi[i]*fac.loc[i,K_] for i in cloth_types])
model += objective,'objective_function'
# constraints
## constraints for labor
for i in cloth_types:
    model +=xi[i]*fac.loc[i,Tp_] <=fac.loc[i,T1_],f'constraint_cloth_{i}_{Tp_}'
## constraints for machines
for i in cloth_types:
    model +=xi[i]*fac.loc[i,Tm_] <=fac.loc[i,T2_],f'constraint_cloth_{i}_{Tm_}'

## constraints of relationship between x and y
for i in cloth_types:
    model +=xi[i]<=M*yi[i],f'constraint_xy_{i}'

model.solve()

1

df_result = pd.DataFrame(np.zeros((3,1)),index=cloth_types,columns=['产量'])
for i in cloth_types:
    df_result.loc[i,'产量']=lp.value(xi[i])

df_result

	产量
A	60.0
B	300.0
C	75.0

lp.value(model.objective)

8700.0