问题

双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失?

假设

• 热量传播只有传导, 没有对流 $T_{1}, T_{2}$ 不变, 热传导过程处于稳态
• 材料均匀，热传导系数为常数

变量

• $Q$ ：单位时间单位面积传导的热量
• $\Delta T \sim$ 温差
• $d \sim$ 材料厚度
• $k \sim$ 热传导系数

• 双层玻璃窗传导的热量 $Q_{1}$
• 单层玻璃窗传导的热量 $Q_{2}$
• $T_{a} \sim$ 内层玻璃的外侧温度
• $\boldsymbol{T}_{b} \sim$ 外层玻璃的内侧温度
• $k_{1} \sim$ 玻璃的热传导系数
• $k_{2}$ 空气的热传导系数

模型

根据热传导定律： $$ Q=k \frac{\Delta T}{d} $$

得到 $$ \begin{array}{r} Q_{1}=k_{1} \frac{T_{1}-T_{a}}{d}=k_{2} \frac{T_{a}-T_{b}}{l}=k_{1} \frac{T_{b}-T_{2}}{d} \\ \Rightarrow Q_{1}=k_{1} \frac{T_{1}-T_{2}}{d(s+2)}, s=h \frac{k_{1}}{k_{2}}, h=\frac{l}{d} \end{array} $$

$$ Q_{2}=k_{1} \frac{T_{1}-T_{2}}{2 d} \quad Q_{1}=k_{1} \frac{T_{1}-T_{2}}{d(s+2)} $$

双层与单层窗传导的热量之比

$$ \frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{2}{s+2}, \quad s=h \frac{k_{1}}{k_{2}}, h=\frac{l}{d} $$

已知参数值如下： $$ k_{1}=4 \times 10^{-3} \sim 8 \times 10^{-3}, \quad k_{2}=2.5 \times 10^{-4}, \quad k_{1} / k_{2}=16 \sim 32 $$

对Q1比Q2的减少量 作最保守的估计， 取$k1/k2 =16$得到 $$ \frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{1}{8 h+1}, \quad h=\frac{l}{d} $$

取 $h=l / d=4$, 则 $Q_{1} / Q_{2}=0.03$即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比, 可减少 $97 \%$ 的热量损失。

结果分析

$Q_{1} / Q_{2}$ 所以如此小, 是由于层间空气极低的热传 导系数 $k_{2}$, 而这要求空气非常千燥、不流通。房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大

来源

• 《数学模型(第五版)》(姜启源,谢金星,叶俊)

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