问题

四条脚长度相等的椅子放在不平坦的地面上, 四条脚能否一定同时着地?

分析

初看这个问题与数学毫不相干, 怎样才能把它抽象成一个数学问题呢?
假设椅子中心不动, 每条腿的着地点为几何学上的点, 用 $A, B, C, D$ 表示, 把 $A C$ 和 $B D$ 连 线看作坐标系中的 $x$ 轴和 $y$ 轴,把转动椅子看作坐标轴的旋转, 如图所示. $\theta$ 表示对角线 $A C$ 转动后与初始位置 $x$ 轴的夹角, $g(\theta)$ 表示 $A, C$ 两煺与地面距离之和, $f(\theta)$ 表示 $B, D$ 两腿与地面距离之和.

模型及结果

当地面光滑时 $f(\theta), g(\theta)$ 皆为连续 (此处即不间断) 函数. 因三条腿总能同时着地, 所以有 $f(\theta) \cdot g(\theta)=0$. 不妨设初始位置 $\theta=0$ 时, $g(0)=0, f(0)>0$, 这样, 放稳椅子问题抽象成如下问题. 已知 $f(\theta), g(\theta)$ 为连续函数, $g(0)=0, f(0)>0$, 且对于 任意的 $\theta$, 都有 $g(\theta) \cdot f(\theta)=0$. 求证 存在 $\theta_0$, 使 $g\left(\theta_0\right)=f\left(\theta_0\right)=0,0<\theta_0<\frac{\pi}{2}$. 证明 $$ h(\theta)=g(\theta)-f(\theta) $$ 显然有 $$ h(0)=g(0)-f(0)<0 $$ 将椅子转动 $\frac{\pi}{2}$, 即将 $A C$ 与 $B D$ 位置互换, 则有 $$ g\left(\frac{\pi}{2}\right)>0, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 $$ 所以 $$ h\left(\frac{\pi}{2}\right)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)>0 $$

因为 $h(\theta)$ 是连续函数, 由连续函数中间值定值, 必定存在 $\theta_0, 0<\theta_0<\frac{\pi}{2}$, 使 $h\left(\theta_0\right)=0$, 即 $g\left(\theta_0\right)=f\left(\theta_0\right)$. 由条件对任意的 $\theta$, 均有 $g(\theta) \cdot f(\theta)=0$, 则 $$ \left\{\begin{array}{l} g\left(\theta_0\right) \cdot f\left(\theta_0\right)=0 \\ g\left(\theta_0\right)=f\left(\theta_0\right) \end{array} \Rightarrow g\left(\theta_0\right)=f\left(\theta_0\right)=0\right. $$ 即存在 $\theta_0$ 方向, 四条腿能同时着地,所以椅子问题的答案是: 如果地面为光滑曲面, 则四条 腿一定可以同时着地.

反思

椅子问题的解决,抓住了问题的本质,在合理的假设下 (椅子中心不动, 对角线看成坐标轴), 将椅子转动与坐标轴旋转联系起来, 将腿与地面的距离用 $\theta$ 的连续函数表示, 由三点 确定一平面得 $f(\theta) \cdot g(\theta)=0$, 又根据连续函数中间值定理使这一问题解决得非常巧妙而简单,上述椅子问题的解决, 具体地说明了数学建模这一过程. 我们也可以用下面的框图更清晰地说明数学建模这一过程:

对于上述框图还做如下几点说明:
(1) 实际问题往往是极为复杂的, 因而只能抓住主要的方面来首先进行定量研究, 这正是抽象和简化的过程. 正确的抽象和简化也往往不是一次能够完成的. 例如哥白尼 (Kopernik) 和牛顿( Newton) 发现的万有引力定律正是把星球、物体简化成没有大小而只有 质量的质点, 再应用物理规律和数学推导而得到的, 而万有引力定律正是发射卫星、宇宙飞 船(登月飞船) 等空间飞行器的重要依据(当然在真正设计、研究宇宙飞船及其飞行轨道时 必须考虑其质量,形状结构等因素, 从而必须研究修正的数学模型). 变量和参数的确定不 仅重要,往往也是复杂和困难的.
(2) 应用某种“规律” 建立变量、参数间的明确数学关系. 这里的 “规律” 可以是人们熟 知的物理学或其他学科的定律, 例如牛顿第二定律、能量守恒定律等, 也可以是实验规律等. 这里说的“明确的数学关系” 可以是等式、不等式及其组合的形式, 甚至可以是一个明确的 算法, 在这一二两个分过程中能用数学语言把实际问题的诸多方面 (关系) “翻译” 成数学问题是极为重要的.
(3) 框图中形成的许多数学模型往往是很复杂、很难的, 许多模型的求解对数学提出了很多挑战性强, 能推动数学发展的问题. 所以, 当不能解析地 (完全地) 解决时, 就先考虑近似求解, 它常常包含两方面的含义: 数值近似求解或从工程、物理上进一步对模型做简化 (例如忽略高阶量等手段), 使得解析或数值求解成为可能. 这样做本质上是改变了问题, 有 可能得到的不是原问题的解. 因而怎样才能做到正确的近似需要很强的洞察力. 从这里也可以看出整个数学建模过程往往是多次循环执行的过程就不足为怪了.
(4) 数学建模的重要性主要在于通过建模对各种实际问题获得深刻的认识, 在此基础上才能解决问题. 而数学的求解往往是用非数学家不易了解的数学语言、公式等表示的, 因 而把它们“翻译” 成与实际问题有关的物理、化学或生物学等的语立,甚至是平常人能悝的 语言是极为重要的, 只有这样才有可能让有关领域的专家来判定是否获得了深刻的认识. 建 模是否正确还必须验证(常常是用实验、现场测试或历史记录来进行验证), 通过验证的模 型才能付之使用,因而解释和验证是必不可少的.
（5）综上可见, 要进行真正好的数学建模必须要有各有关领域的专家、工作人员的通力 合作, 也就是说数学建模的过程往往是一个跨学科的合作过程. 由此可见, 作为青少年学生 若有志于在数学建模活动中做出一点成绩, 也须努力学习, 开拓视野, 刻苦钻研专业知识, 只 有这样,才能使自己在数学建模中干得更好.
还有一点值得一提, 即 Modeling 一词的基本含义是“塑造艺术”(《简明不列颠百科全 书》7 卷 P547), 该条目中说“.... 朔造与雕刻相反, 它是一种添加性工艺, 它不同于雕刻之 处在于塑造过程中可以修正形象. ”这与数学建模过程中多次迭代修改是一致的. 由于数学 模型因问题不同而异,建立数学模型也没有固定的格式和标准,甚至对同一个问题, 从不同 角度、不同要求出发, 可以建立起不同的数学模型, 因此, 与其说数学建模是一门技术, 不如 说是一门艺术一一数学的蒴造艺术. 它需要熟练的数学技巧、丰富的想象力和敏锐的洞察 力, 需要大量阅读、思考别人做的模型, 更要自己动手, 亲身体验.

摘自