牛奶包装盒的设计

下图是净含量 $250 \mathrm{ml}$ 的牛奶包装盒. 在体积(容量) 一定时, 如何优化设计盒子的长、 宽、高比例. 使包装成本更节省? 这是厂家需要考虑的经㳢效益问题. 如何应用数学知识加以解决呢?

(1) 建立数学模型, 将实际问题转化为数学问题: 体积固定的 长方体,如何设置恰当的长、宽、高,使其表面积最小.
(2) 设元 (引进参数) : 设长方体的体积为 $V$, 表面积为 $s$, 长、 宽、高分别为 $x, y, z$.
(3) 设置问题: 当 $V$ 为定值时, 求 $x, y, z$ 的关系, 使表面积 $s$ 取得 最小值.
(4) 分析问题: 因为 $v=x y z, s=2 x y+2 x z+2 y z \geqslant 6 \sqrt[3]{x^2 y^2 z^2}=$ $6 \sqrt[3]{V^2}$, 当且仅当 $2 x y=2 x z=2 y z$ 即 $x=y=z$ 时, $s$ 最小, 所以包装盒应设计为正方体形状,但这与实际情况(长方体)不相符. 这是为什么呢? 原来将图 $包装盒压平后, 得到的是如图所示的双面长方形样式. 图中盒子体积 $V=x y z$, 由图可知, 盒子表面积 $$ \begin{aligned} s=& 2(x+y)(y+z)=\\ & 2\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y\right)\left(y+\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right) \geqslant \\ & 2 \cdot 3 \sqrt[3]{\frac{x^2 y}{4}} \cdot 3 \sqrt[3]{\frac{y z^2}{4}}=18 \cdot \sqrt[3]{\frac{y^2}{4^2}} \end{aligned} $$ 为定值. 当且仅当 $\frac{x}{2}=y=\frac{z}{2}$ 即 $x=2, y=z$ 时, $s$ 取最小值. 所以包装盒长,宽、高的比例应为 $x$ : $$ y: z=2: 1: 2 . $$

但是图的实际情况又如何呢? 经测量, 图中长方体的长 $(x)$ 、宽 $(y)$ 、高 $(z)$ 分别为 $6.3 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}, 10.4 \mathrm{~cm}$, 不符合 $x: y: z=$ $2: 1: 2$ 的计算比例. 这是为什么呢? 难道厂家不想最大限度降低包装成本? 根据上述测量数据, 通过计算, 图 $5.1$ 牛奶包装盒的长、宽、高比例情况如下: 宽 : 长 $=4: 6.3 \approx 0.635$ 长: 高 $=6.3: 10.4 \approx 0.606$. 由此惊喜地发现, 这两个比值都接近古老而神奇的黄金分割数$\varphi=0.618$. 说明图 $5.1$ 牛奶包装盒的正视图和俯视图都接近 “黄金矩形”, 体现了数学和谐之美,它的设计可谓独具匠心.
著名天文学家开普勒说:“几何学里有两个宝库, 一个是毕达哥拉斯定理,一个是黄金分割. “黄金分割” 源于两千多年的古希腊, 自古以来它的和谐,奇异之美一直伴随着人的生活、创造,带给人美的享受和如戊的历史文化.

摘自