Wang Haihua
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对于一阶常系数线性差分方程 $$ x_{k+1}+a x_{k}=b, \quad k=0,1,2, \cdots, $$ 其中, $a, b$ 为常数, 且 $a \neq-1,0$ 。 它的平衡点由代数方程 $x+a x=b$ 求解得到, 不妨记为 $x^{*}$ 。如果 $\lim _{k \rightarrow+\infty} x_{k}=x^{*}$, 则称平衡点 $x^{*}$ 是稳定的, 否则是不稳定的。 一般将平衡点 $x^{*}$ 的稳定性问题转化为 $x_{k+1}+a x_{k}=0$ 的平衡点 $x^{*}=0$ 的稳 定性问题。由 $x_{k+1}+a x_{k}=0$ 可以解得 $x_{k}=(-a)^{k} x_{0}$, 于是 $x^{*}=0$ 是稳定的平衡点的充要条件: $|a|<1$ 。
对于 $n$ 维向量 $x(k)$ 和 $n \times n$ 常数矩阵 $A$ 构成的方程组 $$ x(k+1)+A x(k)=0, $$ 其平衡点是稳定的充要条件是 $A$ 的所有特征根都有 $\left|\lambda_{i}\right|<1(i=1,2, \cdots, n)$ 。
对于二阶常系数线性差分方程 $$ x_{k+2}+a_{1} x_{k+1}+a_{2} x_{k}=0, \quad k=0,1,2, \cdots, $$ 其中 $a_{1}, a_{2}$ 为常数。其平衡点 $x^{*}=0$ 稳定的充要条件是特征方程 $\lambda^{2}+a_{1} \lambda+a_{2}=0$ 的根 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 满 足 $\left|\lambda_{1}\right|<1,\left|\lambda_{2}\right|<1$ 。对于一般的 $x_{k+2}+a_{1} x_{k+1}+a_{2} x_{k}=b$ 平衡点的稳定性问题可同样给出, 类似可推广到 $n$ 阶 线性差分方程的情况。
对于一阶非线性差分方程 $$ x_{k+1}=f\left(x_{k}\right), \quad k=0,1,2, \cdots, $$ 式中 $f$ 为已知函数, 其平衡点 $x^{*}$ 由代数方程 $x=f(x)$ 解出。为分析平衡点 $x^{*}$ 的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程 $x_{k+1}=f\left(x^{*}\right)+f^{\prime}\left(x^{*}\right)\left(x_{k}-x^{*}\right)$, 当 $\left|f^{\prime}\left(x^{*}\right)\right| \neq 1$ 时, 上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同。因此，当 $\left|f^{\prime}\left(x^{*}\right)\right|<1$ 时， $x^{*}$ 是稳定的; $\left|f^{\prime}\left(x^{*}\right)\right|>1$ 时, $x^{*}$ 是不稳定的。
参考资料