- 一个自然环境中有两个种群生存, 它们之间的 关系：相互竞争; 相互依存; 弱肉强食。
- 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时, 常见的结局是, 竞争力弱的灭绝, 竞争力强的达到环境容许的最大容量。
- 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程, 分析产生这种结局的条件。
模型假设¶
- 有甲乙两个种群, 它们独自生存 时数量变化均服从Logistic规律;
$$
\dot{x}_{1}(t)=r_{1} x_{1}\left(1-\frac{x_{1}}{N_{1}}\right) \quad \dot{x}_{2}(t)=r_{2} x_{2}\left(1-\frac{x_{2}}{N_{2}}\right)
$$
- 两种群在一起生存时, 乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。
$$
\dot{x}_{1}(t)=r_{1} x_{1}\left(1-\frac{x_{1}}{N_{1}}-\sigma_{1} \frac{x_{2}}{N_{2}}\right)
$$$$ \dot{x}_{2}(t)=r_{2} x_{2}\left(1-\sigma_{2} \frac{x_{1}}{N_{1}}-\frac{x_{2}}{N_{2}}\right)
$$
对于消耗甲的资源而言, 乙(相对于 $\left.N_{2}\right)$ 是甲(相对于 $\left.N_{1}\right)$的 $\sigma_{1}$ 倍。 $\sigma_{1}>1$,乙对甲的阻滞作用大，进而推出乙的竞争力强。
两种群模型的几种形式¶
- 相互竞争
$$
\dot{x}{1}(t)=r{1} x{1}\left(1-\frac{x{1}}{N{1}}-\sigma{1} \frac{x{2}}{N{2}}\right) \quad \dot{x}{2}(t)=r{2} x{2}\left(1-\sigma{2} \frac{x{1}}{N{1}}-\frac{x{2}}{N{2}}\right)
- $$
相互依存
$$
\dot{x}{1}\left(t{1}\right)=r{1} x{1}\left(\pm 1-\frac{x{1}}{N{1}}+\sigma{1} \frac{x{2}}{N{2}}\right) \dot{x}{2}(t)=r{2} x{2}\left(\pm 1+\sigma{2} \frac{x{1}}{N{1}}-\frac{x{2}}{N_{2}}\right)
$$
- 弱肉强食
$$
\dot{x}_{1}(t)=r_{1} x_{1}\left(1-\frac{x_{1}}{N_{1}}-\sigma_{1} \frac{x_{2}}{N_{2}}\right) \dot{x}_{2}(t)=r_{2} x_{2}\left(-1+\sigma_{2} \frac{x_{1}}{N_{1}}-\frac{x_{2}}{N_{2}}\right)
$$