数学模型

Wang Haihua

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排队论模型

排队论是我们每个人都很熟悉的现象。因为人或物或是信息为了得到某种服务必须排队。

• 有一类排队是有形的，例如在售票处等待买票的排队，加油站前汽车等待加油的排队等；
• 还有一类排队是无形的，例如电话交换机接到的电话呼叫信号的排队，等待计算机中心处理机处理的信息的排队等。

为了叙述的方便，排队者无论是人、物、或信息，以后统称为“顾客”。服务者无论是人，或事物， 例如一台电子计算机也可以是排队系统中的服务者，我们以后统称为“服务员”。

排队论是研究排队系统在不同的条件下（最主要的是顾客到达的随机规律和服务时间的随机规律）产生的排队现象的随机规律性。也就是要建立反映这种随机性的数学模型。研究的最终目的是为了运用这些规律，对实际的排队系统的设计与运行做出最优的决策。

排队系统的数学模型

尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排队规则、服务规则三个基本部分组成。

输入过程

输入过程是描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。一般从以下几个方面对输入过程进行描述：

• 顾客源中顾客的数量是有限还是无限；
• 顾客到达的方式是单个还是成批；
• 顾客的到达是否相互独立（以前到达的顾客对以后顾客的到达没有影响，则称顾客的到达是相互独立的，否则就是相互关联的）；
• 顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，就需要知道单位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；
• 输入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的时间间隔分布参数（如均值、方差）都是和时间无关的，则称输入过程是平稳的，否则是非平稳的）。

在后面的讨论中，我们都假设顾客的到达是相互独立的，输入过程是平稳的。

服务机构及服务规则

指服务机构服务设施的个数、排列方式及服务方式，一般从一下几个方面进行描述：

• 服务台（员）的个数 ：服务机构可以有一个或者多个服务台
• 服务台的情况 ：单队伍-单服务台、单队伍-多服务台、多队伍-多服务台、串联多服务台以及混合多服务台等多种形式；
• 服务台的服务方式 ：对顾客是单个服务还是成批服务，本课程我们只考虑单个服务的情况
• 服务时间：同输入过程一样，对顾客的服务时间也分为确定型的还是随机型的，如果是随机分布，需要知道单位时间内服务的顾客数或者是顾客顾客相继服务的时间间隔的概率分布。
• 在排队论中，一般假设顾客相继到达的时间间隔和服务时间至少有一个是随机的。

服务员对顾客服务过程，服务机构可以是一个服务员或多个服务员的。对顾客可以单独进行服务，也可以对成批顾客进行服务，在我们这里仅介绍对顾客单独进行服务。

设$C$为服务机构服务员个数，当$C=1$时，为单服务系统，当$C \geq 2$，为多服务系统。

和输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设$\xi_n$表示服务员为$n$个顾客提供服务所需的时间，$\xi$的概率分布是已知的可以根据原始资料判断得到的，主要有的分布为负指数分布(定长分布，一般独立分布等).

排队与服务规则

顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制，损失制和混合制。

• 所谓等待制就是当一个顾客到达时，若所有服务台均被占用时，该顾客便排队等待服务，服务台按照下面的规则对顾客进行服务：
  1. 先到先服务（FCFS）
  2. 后到先服务（FCLS）
  3. 随机服务（SIRO）
  4. 有优先权的服务（PR）。

• 损失制也称即时制(系统容量$D=C$)就是服务台被占用时顾客便即时离去，永不再来。

• 混合制是等待制和损失制系统的结合，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长。具体来讲，分为以下三种：

  1. 队长有限，即等待的空间是有限的
  2. 等待时间有限，即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定值$T$，当等待时间超过$T$时，顾客自动离去，不再回来
  3. 逗留时间有限（等待时间和服务时间之和）

排队模型的符号表示:Kendall符号

一般表示法 $A/B/C/D/E/F$

• $A$:顾客来到时间间隔的分布类型
• $B$:服务时间的分布类型
• $C$:服务员个数
• $D$:系统容量
• $E$:顾客源个数
• $F$:服务规则(如先到先服务$FCFS$,后到先服务$FCLS$)

例"$M/M/1/k/\infty/FCFS$"表示顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数分布，一个服务台，系统至多容纳$k$个顾客,潜在的顾客数不限，先来先服务的排队系统。

有时候，我们略去后三项，得到先来先服务的等待排队模型的三参数表示法即A/B/C， $M/M/c$ 顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数分布，$C$个服务台的等待制排队模型。 $M/G/1$ 顾客到达间隔服从负指数分布，服务时间是$G$分布,单个服务台的等待制排队模型。

排队系统的主要指标

研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是

• 队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务的)的数目，它的期望值为$L_S$，而排队长度仅指排队等待的顾客数，其期望记为$L_q$

$$ 系统中的顾客数(队长) = 等待服务的顾客数+正被服务的顾客数 $$

所以$L_S,L_q$越大，说明服务效率越低。

$$ 逗留时间=等待时间+服务时间 $$

• 忙期:是指服务台连续繁忙的时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止的这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相对应的是闲期，这是指服务台连续保持空闲的时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现的。

排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台的利用率(即服务员忙碌的时间在总时间中所占比例)、顾客损失率在排队论的研究中也是很重要的指标。

$$ 服务机构的工作强度 = \frac{用于服务顾客的时间}{总时间} $$$$ 顾客损失率 = \frac{没有得到服务的顾客的个数}{总顾客数} $$

参考资料

• ThomsonRen github https://github.com/ThomsonRen/mathmodels