多服务台系统理论推导¶
标准$M/M/c$模型( $M/M/c/\infty/\infty$ )是指顾客的到达符合参数为$\lambda$的泊松分布，服务时间服从参数为$\mu$的负指数分布，服务台的个数为$c$，顾客源的数量为无限，系统的容量无限，顾客到达间隔时间和服务时间之间相互独立，排队规则是先到先服务。其生灭过程如下图所示
状态平衡方程
$$ {\lambda P_{0}=\mu P_{1}} $$$$ \lambda P_{n-1}+(n+1) \mu P_{n+1}=(\lambda+n \mu) P_{n},( 1 \leq n < c ) $$$$ {c \mu P_{n+1}+\lambda P_{n-1}=(\lambda+c \mu) P_{n}, (n \geq c)} $$得到每个状态的概率为（具体推导过程略）
$$ P_{0}=\left[\sum_{k=0}^{c-1} \frac{1}{k !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{k}+\frac{1}{c !} \frac{1}{1-\rho}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{c}\right]^{-1} $$$$ P_{n}={\dfrac{1}{n !}\left(\dfrac{\lambda}{\mu}\right)^{n} P_{0},(n < c)} $$$$ P_{n}= {\dfrac{1}{c ! c^{n-c}}\left(\dfrac{\lambda}{\mu}\right)^{n} P_{0},(n \geq c)} $$其中
$$ \rho = \frac{\lambda}{c\mu} $$平均排队长
$$ L_q=\sum_{n=c+1}^{\infty}(n-c) P_{n}=\frac{(c \rho)^{c} \rho}{c !(1-\rho)^{2}} P_{0} $$平均队长
$$ L_{s}=L_{q}+\frac{\lambda}{\mu} $$平均逗留时间
$$ W_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda} $$平均等待时间
$$ W_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda} $$参考资料
- ThomsonRen github https://github.com/ThomsonRen/mathmodels