数学模型

Wang Haihua

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TOPSIS方法

TOPSIS(全称：Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)。 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能比较精确地反映各评价方案之间的差距。 TOPSIS是一种多标准决策分析方法，最初由C.L.Hwang和K.Yoon1981年提出，随后K.Yoon 1987年进一步发展，Hwang, Lai a和 Liu于1993年进一步发展。

TOPSIS是基于这样的想法:所选方案与正理想解(PIS)之间的几何距离最短，与负理想解(NIS)之间的几何距离最长。 TOPSIS

基本过程为基于归一化后的原始数据矩阵，先找出方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。

该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

基本过程

TOPSIS方法基本过程如下

创建含m个评价对象和n个评价指标的评价矩阵，第$i$个评价对象的第$j$项指标的值用$x_{ij}$表示, 评价矩阵用 $(x_{{ij}})_{{m\times n}}$表示.

$$R=(r_{{ij}})_{{m\times n}},$$

$$ r_{ij}={\frac {x_{ij}}{\sqrt {\sum _{k=1}^{m}x_{kj}^{2}}}},\quad i=1,2,\ldots ,m,\quad j=1,2,\ldots ,n$$

其中 $$w_{j}=W_{j}{\Big /}\sum _{k=1}^{n}W_{k},j=1,2,\ldots ,n$$ $$\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1$$ 。$W_{j}$ 是指标原始权重$v_{j},\quad j=1,2,\ldots ,n.$

$$ A_{w}=\{\langle \max(t_{ij}\mid i=1,2,\ldots ,m)\mid j\in J_{-}\rangle ,\langle \min(t_{ij}\mid i=1,2,\ldots ,m)\mid j\in J_{+}\rangle \rbrace \equiv \{t_{wj}\mid j=1,2,\ldots ,n\rbrace ,$$$$A_{b}=\{\langle \min(t_{ij}\mid i=1,2,\ldots ,m)\mid j\in J_{-}\rangle ,\langle \max(t_{ij}\mid i=1,2,\ldots ,m)\mid j\in J_{+}\rangle \rbrace \equiv \{t_{bj}\mid j=1,2,\ldots ,n\rbrace ,$$

其中 $J_{+}=\{j=1,2,\ldots ,n\mid j\}$ 是极大型指标, $J_{-}=\{j=1,2,\ldots ,n\mid j\}$ 是极小型指标

$$d_{ib}={\sqrt {\sum _{j=1}^{n}(t_{ij}-t_{bj})^{2}}},\quad i=1,2,\ldots ,m$$

参考文献