目前, 关于权数确定的具体方法有多种, 根据计算权数时原始数据的来源不同, 这些方法大致可分为两大类: 主观赋权法和客观赋权法。

主观赋权法

主观赋权法是指利用专家 (或个人)的知识与经验来确定指标的权数, 其原始数据主要由专家根据经验主观判断得到, 比如德尔菲法、两两比较法、环比评分法、层次分析法等。目前对主观赋权方法的研究比较成熟, 这些方法的共同特点是: 各评价指标的权重由专家根据自己的经验和对实际的判断给出。选取的专家不同, 得出的权数也不同。这类方法的主要缺点是主观随意性大, 这一点并未因采取诸如专家数量、仔细挑选专家等措施而得到根本改善。因而, 采用主观赋权法得到的权重结果可能会与实际情况存在较大差异。

主观购权方法的优点是专家可以根据实际问题, 较为合理地确定各指标之间的排序。也就是说, 尽管主观賦权法不能准确地确定各指标的权数, 但在通常情况下, 主观赋权法可以在一定程度上有效地确定各指标按重要程度给定的权数的先后顺序。以下是两种常用的主观赋权方法。

德尔菲法

又称专家会议法, 其特点在于集中专家的经验 与意见, 确定各指标的权数, 并在不断的反馈和修改中得到比较满

  1. 选择专家。这是很关键的一步, 专家的选择将直接影响到结 果的准确性。一般情况下, 选本专业领域中既有实际工作经验又有 较深理论修养的专家 $10 \sim 30$ 人左右,并需要征得专家本人的同意。
  2. 将待定权数的 $n$ 个指标和有关资料以及统一的确定权数规 则发给选定的各位专家, 请他们独立地给出各指标的权数值。
  3. 回收结果并计算各指标权数的均值与标准差。
  4. 将计算的结果及补充资料返还给各位专家, 要求所有的专家 在新的基础上重新确定权数。
  5. 重复上述第 3 和第 4 步, 直至各指标权数与其均值的离差不 超过预先给定的标准为止, 也就是各专家的意见基本趋于一致, 以 此时各专家对某指标权数的均值作为某指标的权数。

德尔菲法是调查、证集意见、汇总分析、反馈、再调查 $\cdots$ 的反复 过程, 专家们是处于互相不知道的隔离状态, 每个人的信息是他自己的知识、经验、专长以及调查机构反馈佶息的集中体现,这便于集 中智慧。

层次分析法

层次分析法(简称 $\mathrm{AHP}$ ) 是美国运筹学家萨提 (Satty)于 70 年代中期提出的一种实用的决策方法。其基本过程为：首先将复杂问 题分解成递阶层次结构, 然后将下一层次的各因素相对于上一层次的各因素进行两两比较判断, 构造判断矩阵, 通过对判断矩阵的计算, 进行层次单排序和一致性检验, 最后进行层次总排序, 得到各因素的组合权重, 并通过排序结果分析和解决问题。 层次分析法可以对非定量事物作定量分析, 对人们的主观判断作客观捅述。在上市公司经营业绩综合评价中, 影响指标相对重要性的因素还应当包括当时的社会环境、经济政策因素等。这些因素难以准确量化, 它们对各指标相对重要性的影响程度如何, 可以通过有关专家主观判断 决定。层次分析法是一种多目标决策分析方法, 这一方法用于指标 主观权数的确定, 有其独特的作用。运用 AHP 确定权重, 大体可分 为以下步骤;

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关,一般地可以不受限制。每一层次中各元素所支配的下 一层元素一般不要超过九个, 这是因为支配的元素过多会给两两比 较判断带来困难。一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的, 因而层次结构必须建立在深人分析的基础上。

考虑到专家直接对指标赋权的困难, 习惯上采用九分位的相对重要性的比例标度 , 构成一个判断矩阵 $B$ : $$ B=\left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 m} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \ldots \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m m} \end{array}\right) $$ 判断矩阵的值反映了人们对各因素相对重要性的认识,其量化过程见下表 。

对于递阶层次结构中各层上的元素可以依次相对于与之有关的上一层元素, 进行两两比较, 从而建立一系列的判断矩阵。判断矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 具有下述性质: $$ a_{i v}>0, a_{i j}=\frac{1}{a_{i n}}, a_{i i}=1 \quad(i, j=1,2, \ldots, n) $$ 其中, $a_{i j}(i, j=1,2, \ldots, n)$ 代表元素 $U_i$ 与 $U_j$ 相对于其上一层元素重要性的比例标度。

$$ C I=\frac{\lambda_{\max }-n}{n-1} $$

其中, $n$ 为判断矩阵的阶数。最后求得随机一致性比率 $C R$ 的值,公式为： $$ C R=\frac{C I}{R I} $$ 式中 RI 为随机一致性标准值, 随机一致性指标 RI 取值见下表：

维数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RI 0.00 0.00 0.58 1.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45

CR 值小于 $0.1$ 时,一般认为矩阵 B 具有满意的一致性; 反之, CR 大于 $0.1$ 时, 则认为矩阵 B不具有满意的一致性, 需要调整判断 矩阵的元素取值。 当多个专家分别给定判断矩阵后, 分别通过一致性检验, 运用简单算术平均法将专家意见综合平均, 即可得到反映各评价指标相对重要性的主观评价权数。

客观赋权法

客观赋权法是从指标的统计性质上来考虑, 由调查所得的数据决定, 不需征求专家的意见, 其原始数据由各指标在被评价单位中的实际数据形成, 客婏賦权法有变异系数法、熵值法、相关系数法、 CRITIC 法等。

变异系数权数

  1. 变异系数权数的理论与计算方法。 对多指标综合评价而言,指标体系中的各指标所包含的信息量是不同的, 即各指标对被评价单位的分辦能力是有区别的。某些指 标在各被评价单位之间差异较大, 其分辨能力较强, 包含的信息量就多; 而某些指标在各被评价单位之间差异较小,其分辦能力较弱,包含的信息量较少。一般来说, 如果某指标包含的信息量越多, 它在综合评价中的作用就越大, 理应赋予较大的权数, 反之, 在综合评价中的作用就小, 应赋予较小的权数, 特别地, 如果某指标在各被评 价单位之间根本没有差异, 即从评价角度来看不包含任何信息, 它基于上述认识, 信息量的大小反映了各指标变异程度上的差异。因此, 如果将这种差异加以量化, 就得到了相应的信息量权数。 方差 (标准差) 是衡量各指标变异程度的有效尺度。但由于各指标 度量单位的不同和数量级数上的差异, 各指标的方差 (标准差)不具 可比性。因此, 采用各指标的变异系数来进行度量就能解决此问题。如果将各指标的变异系数归一化处理, 就得到了反映各指标变异程度大小的信息量权数。具体方法如下: 设指标体系包含 $m$ 个指标, $X_1, X_2, \ldots, X_n$; 有 $n$ 个被评价单位。 令 $$ \begin{aligned} &\bar{X}_i=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{i j} \quad(i=1,2, \ldots m) \\ &S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_{i j}-\bar{X}_i\right)^2 \quad(i=1,2, \ldots m) \end{aligned} $$ 则各指标的变㫒系数为: $$ V_i=\frac{S_i}{X_{i j}} \quad(i=1,2, \ldots m) $$ 将 $V_i$ 归一化处理,即得各指标的信息量权数 $W_i$ 为: $$ W_i=\frac{V_i}{\sum_{i=1}^m V_i} \quad(i=1,2, \ldots m) $$
  2. 实证分析。 采用湖南省 35 家上市公司作为样本, 考虑到极端值会对指标赋权权造成较大影响, 本书以 $3 \sigma$ 为界限, 剔除超过 $(\mu-3 \sigma \mu+3 \sigma)$ 范围的数据, 最后剩下 28 家上市公司样本数据。数据见下表：
公司 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
T1 1.90 21.46 0.74 49.42 0.31 2.38 -51.48 19.24
T2 11.56 35.86 0.82 51.09 0.58 1.68 50.13 76.32
T3 2.66 20.49 0.40 50.32 0.57 3.84 6.00 1.33
T4 4.59 51.71 1.01 41.44 0.36 11.39 -27.23 20.55
T5 4.92 63.69 1.58 41.83 0.21 6.21 12.19 7.66
T6 5.60 26.38 1.52 24.83 0.16 2.33 62.90 -20.32
T7 0.84 26.18 0.76 69.09 0.42 1.84 -64.47 17.42
T8 8.00 28.17 1.60 52.12 0.60 6.66 -7.35 1.50
T9 2.24 12.25 0.81 40.23 0.98 5.93 -48.98 24.71
T10 0.66 27.76 0.56 49.63 0.24 1.23 -82.48 11.78
T11 0.57 26.34 1.97 25.53 0.36 1.60 -90.37 -20.66
T12 -4.95 41.31 0.84 48.20 0.16 .28 34.75 -12.49
T13 5.54 7.99 0.83 42.76 1.58 6.13 5.08 27.49
T14 2.99 10.41 0.57 62.25 1.31 15.85 -24.81 19.37
T15 2.02 20.79 1.34 35.82 0.29 1.63 0.09 15.27
T16 0.16 26.67 1.36 48.58 0.20 6.58 17.93 41.58
T17 1.38 35.91 0.41 63.44 0.53 1.62 92.76 64.29
T18 10.15 14.57 0.83 44.54 1.17 17.64 42.03 31.01
T19 8.59 38.58 3.15 17.26 0.86 2.94 30.46 12.53
T20 3.16 31.45 2.56 18.26 0.43 1.06 119.34 24.07
T21 0.67 16.79 0.83 43.30 0.25 1.85 109.69 0.16
T22 2.32 26.70 0.96 50.23 0.32 1.28 -32.60 8.10
T23 1.16 25.02 0.57 68.37 0.40 1.47 -72.23 -4.00
T24 4.70 28.02 1.32 44.91 0.70 3.46 -18.57 36.41
T25 9.02 43.44 2.09 26.88 0.47 2.36 18.66 31.12
T26 0.32 18.93 1.85 40.45 0.61 2.24 -95.01 16.32
T27 2.07 23.03 1.02 49.87 0.36 1.27 -45.38 1

最终筛选出八项指标：

对数据进行标准化, 采用减法致化方法对数据进行处理, 然后采用极差法进行无量纲化(标准化 数据略)。计算过程和结果如下表：

  1. 对变异系数赋权法的认识。 变异系数法是一种动态的客观赋权方法, 指标权数随着评价客体范围、评价指标组合的不同而发生变化。 变异系数法賦权除了具有明显的动态性之外, 还具有简便易懂等特点,是一种常用的客观赋权方法,在上市公司经营业绩综合评价中具有很强的实用性。但是变异系数赋权法容易受极端值的影响, 如果某指标数据存在极端值, 对变异系数影响较大, 这样将会夸大该指标在综合评价中的作用,所以,在应用变异系数法进行赋权时,尤须苜先挒除掉极端值。

熵值法赋权

熵原本是热力学概念,它最先由香农引入信息论,现已在工程技术、社会经济领域得到十分广泛的应用。一般地, 如果某个指标的信息熵越小,就表明其指标值的变异程度越大, 提供的信息量就越大,在绽合评价中所起的作用就越大, 则其权重也应越大; 反之,信息量越小, 在综合评价中所起的作用越小, 则其权重也应越小,这就是熵权法的原理。 在信息论中,信息熵 $$ E(x)=-\sum_{i=1}^n p\left(x_i\right) \operatorname{Ln} p\left(x_i\right) $$ 是系统无序程度的度量, 信息是系统有序程度的度量,二者绝对值相等, 等号相反, 利用信息熵这个工具, 计算出各指标的权重,

  1. 各指标同度量化,计算第 $j$ 项指标下第 $i$ 个市位指标值的比 重 $P_{\text {ij: }}$ $$ p_{i j}=\frac{x_{i j}}{\sum_{i=1}^n x_{i j}} $$
  2. 计算第 $j$ 项指标的熵值 $e_j$ : $$ e_j=-k \sum_{i=1}^n p_{i j} L n p_{i j} $$

如果 $X_{i j}$ 在 $j$ 项指标的值全部相等, 那么 $$ p_{i j}=\frac{x_{i j}}{\sum_{i=1}^n x_{i j}}=\frac{1}{n} $$ 此时 $e_j$ 取极大值, 即 $$ e_j=-k \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \operatorname{Ln} \frac{1}{n} $$ 式中 $n$ 为指标个数, 若设 $k=1 / \operatorname{lnm}(m$ 为评价单位的个数), 于是有 $0 \leqslant e, \leqslant$ 。

  1. 计算第 $j$ 项指标的差异性系数 $g_{\text {i }}$ 并进行归一化处理。 对于给定的 $j, x_{i j}$ 的差异性越小,则 $e_j$ 越大, 当 $x_{i j}$ 全部相等时, $e_j$ 达到最大值为 1 , 此时对于各单位的综合评价, 指标 $X_j$ 不起作用; 当各单位的指标值相差越大时, $e_j$ 越小, 该项指标对于各被评价单位所 起的作用越大。定义差异性系数: $g_j=1-e_i$, 则当 $g$ 越大时, 指标越 重要。将 $g$ 进行归一化处理得: $$ w_j=\frac{g_j}{\sum_{j=1}^m g_j}(j=1,2, \ldots, m) $$ 熵值法赋权方法与变异系数法一样, 都是以指标信息量为依据,都属于信息量权数,只是对信息量的度量方法有差异。

  2. 实证分析。 分析指标与数据同变异系数权数计算所采用的一样, 在减法一 致化、极差法无量纲化数据基础上进行计算, 计算过程及结果如下表

独立性权数

在多批标综合评价中, 如何处理指标间的重复信息, 始终是一个难题。虽然设置合理的指标体系可以部分地消除指标间的重复信息,但由于社会经济现象的复杂性,指标体系中各指标之间总是有部分重复信息存在。

为了避免重复信息对综合评价的影响, 需要寻找一种衡量指标 间重复信息大小的尺度。一般可以通过指标间的相关系数作为衡量尺度,如果两个指标之间的相关系数越接近于 1 , 则它们的信息重复越严重, 如果等于1 , 则完全重复; 反之如果两指标间的相关系数越接近于 0 , 则它们的重复信息越少, 如果等于 0 , 则无任何重复。 两个指标之间的信息重复程度可以通过它们的相关系数加以反映,但在多指标综合评价中, 指标体系中包含的指标往往不只两个。在这种情况下, 相关系数矩阵将是可以利用的工具。通过相关

  1. 计算相关系数矩阵: 首先将原始数据标准化。假设用于综合 评价的指标体系包含 $m$ 个指标,其相关系数矩阵 $R$ 为：
$$ R=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & r_{12} & r_{13} & \ldots & r_{1 m} \\ r_{21} & 1 & r_{23} & \ldots & r_{2 m} \\ r_{31} & r_{32} & 1 & \ldots & r_{3 m} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ r_{m 1} & r_{m 2} & r_{m 3} & \ldots & 1 \end{array}\right) $$
  1. 按列求和 计算每列中 $\left(1-r_m\right)$ 的和, 可得到反映每个指标与其它指标信息重复程度的行向量为: $$ \sum\left(1-r_{i 1}\right), \sum\left(1-r_{i e}\right), \ldots, \sum\left(1-r_{\mathrm{m}}\right) $$ 由于对相关性进行了反向处理, 在此行向量中, 某元素的数值 越小, 其相应指标 $X$ 与与其余指标重复的信息越少, 则它在综合评价 中的作用越大, 应赋予较大的权重; 反之, 则应赋予较小的权重。
  2. 计算独立性权数: 只要将上述权向量取倒数后再归一化处理, 即可得到一组权向量 $W_i$, 计算方法如下: $$ W_i=\frac{\sum\left(1-r_{i j}\right)}{\sum \sum\left(1-r_{i j}\right)} $$
  3. 实证分析。 所采用的分析指标、数据及标准化方法与变㫒系数权数计算的 一样。计算过程及赋权结果见下表

从表 中可以看出, 上面选出 的 8 个评价指标相关性均较弱, 某指标与其它指标相关系数之和最大为 $1.29$, 最小为 $0.31$, 同时其相关程度分布较为均匀, 所以采用相关系数赋权时其权数在各指标上的分配较为均匀。

CRITIC 法賦权:信息量权数与独立性权数的结合

  1. CRITIC 法赋权的理论与方法。 CRITIC (Criteria Importance Through Intercriteria Correlation)法是由 Diakoulaki 提出的另一种客观权重赋权方法。它的基本思路是确定指标的客观权数以下述两个基本概念为基础:
  1. 实证分析 分析指标、数据及标准化方法与变异系数权数计算所采用的一样。计算过程及结果如下表所示

几种客观赋权法的比较分析

赋权结果的差异性分析

为便于分析比较, 将各种方法的恜权结果综合在下表中：

从表中可以看出,各种单项的客观赋权法结果存在明显 差异,对各种赋权结果进行描述性统计分析。同其他方法相比, 采用熵值法赋权和变异系数赋权方法时, 各指标权重差异较大, 例如樀值法斌权结果的权重极差为 $0.23$, 标准差 为 $0.08$, 说明各上市公司在某些经营业绩评价指标值上差异较大, 因为这两种方法都是以指标差异为其础进行赋权的,如果在赋权时仅 仅依据各指标的差异信息, 则可能导致某些指标䝬权过大而不合理。

而相比之处,采用相关系数赋权法时各指标权数差异较小,相关 系数法赋权结果的权重极差为 $0.04$, 标准差为 $0.0137$, 说明各指标的相关性差异较小, 指标体系中没有高度相关的指标。 CRITIC 法赋权结果差异介于信息量权数 (指嫡值法与变异系 数法)和相关系数权数之间, 赋权结果的权重极差为 $0.06$, 标准差为 $0.018$, 这与 CRITIC 法赋权思想的初衷是一致的。因为 CRITIC 法 赋权法从理论上就是结合指标数据的差异信息与相关信息综合考 虑, 也就是说, CRITIC 赋权法不仅考虑了指标变异大小对权重的影响, 还考虑了各指标之间的冲突性 (相关性), 因此笔者认为, CRITIC 何权法是一种比信息量权数和相关系数权数更为合理的客观赋权方法。

各种赋权结果的相关性分析

首先计算四种客观赋权法的两两相关系数, 从各单项赋权结果的相关性来看, 四种方法都不存在显著相关, 有的相关系数还为负值, 所以单从相关性来分析, 很难判断哪种赋权方法具有明显的优越性。通这也说明对多种赋权结果进行组合赋权是必要的。

参考资料