数学模型

Wang Haihua

🍈 🍉🍊 🍋 🍌

---

具有季节性时间序列的预测

这里提到的季节，可以是自然季节，也可以是某种产品的销售季节等。显然，在现实的经济活动中，表现为季节性的时间序列是非常多的。比如，空调、季节性服装的生产与销售所产生的数据等。

对于季节性时间序列的预测，要从数学上完全拟合其变化曲线是非常困难的。但预测的目的是为了找到时间序列的变化趋势，尽可能地做到精确。从这个意义上讲，可以有多种方法，下面介绍其中一种，即所谓季节系数法。季节系数法的具体计算步骤如下:

• (1) 收集 $m$ 年的每年各季度 (每年 $n$ 个季度) 或者各月份的时间序列样 本数据 $a_{i j}$ 。其中, $i$ 表示年份的序号 $(i=1,2, \cdots, m), j$ 表示季度或者月份的 序号 $(j=1,2, \cdots, n)$ 。
• (2）计算每年所有季度或所有月份的算术平均值 $\bar{a}$, 即 $$ \bar{a}=\frac{1}{k} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i j}, \quad k=m n . $$

• (3) 计算同季度或同月份数据的算术平均值 $\bar{a}_{\cdot j}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i j}, j=1,2, \cdots, n$

• (4) 计算季度系数或月份系数 $b_{j}=\bar{a}_{\cdot j} / \bar{a}_{\text {。 }}$

• (5) 预测计算。当时间序列是按季度列出时, 先求出预测年份（下一 年）的年加权平均 $$ y_{m+1}=\frac{\sum_{i=1}^{m} w_{i} y_{i}}{\sum_{i=1}^{n} w_{i}}, $$ 式中, $y_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}$ 为第 $i$ 年的合计数; $w_{i}$ 为第 $i$ 年的权数, 按自然数列取值, 即 $w_{i}=i$ 。再计算预测年份的季度平均值 $\bar{y}_{m+1}=y_{m+1} / n$ 。最后, 预测年份第 $j$ 季 度的预测值为 $y_{m+1, j}=b_{j} \bar{y}_{m+1}$.

案例

问题

某商店按季度统计的3年12个季度冰箱的销售数据（单位：万元） 。求2004年四个季度的销售额。

	一季度	一季度	三季度	四季度
2001 年	265	373	333	266
2002 年	251	379	374	309
2003 年	272	437	396	348

利用Python软件，求得2004年四个季度的销售额分别为269.7534万元、407.0263万元、377.5862万元、 315.9674万元。

代码

import numpy as np
a=np.loadtxt('data/refrigerator.txt')
m,n=a.shape
amean=a.mean()  #计算所有数据的平均值
cmean=a.mean(axis=0)   #逐列求均值
r=cmean/amean   #计算季节系数
w=np.arange(1,m+1)
yh=w.dot(a.sum(axis=1))/w.sum()  #计算下一年的预测值
yj=yh/n   #计算预测年份的季度平均值
yjh=yj*r  #计算季度预测值
print("下一年度各季度的预测值为：",yjh)

---

import numpy as np
a=np.loadtxt('data/refrigerator.txt')
m,n=a.shape
amean=a.mean()  #计算所有数据的平均值
cmean=a.mean(axis=0)   #逐列求均值
r=cmean/amean   #计算季节系数
w=np.arange(1,m+1)
yh=w.dot(a.sum(axis=1))/w.sum()  #计算下一年的预测值
yj=yh/n   #计算预测年份的季度平均值
yjh=yj*r  #计算季度预测值
print("下一年度各季度的预测值为：",yjh)

下一年度各季度的预测值为： [269.75335165 407.0263136  377.586227   315.96744109]