高等数学

Wang Haihua

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集合

集合的定义

集合(set)是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素

集合中元素的数目称为集合的基数，集合$A$的基数记作$card(A)$或$|A|$。当其为有限大时，集合$A$称为有限集，反之则为无限集。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集.

集合的特性

• 确定性 给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
• 互异性 一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
• 无序性 一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

常见集合

• 自然数集 $$ \mathbb{N} := \{0, 1, 2, 3, 4, ...\} $$

• 整数集 $$ \mathbb{Z} := \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} $$

• 正整数集

$$ \mathbb{Z}^{+} := \{1, 2, 3, 4, ...\} $$

• 负整数集

$$ \mathbb{Z}^{-} := \{-1, -2, -3, ...\} $$

• 有理数集 $$ \mathbb{Q} := \Big\{\frac{a}{b}\enspace|\enspace a,b\in\mathbb{Z}\wedge b\neq0\Big\} $$
• 实数集

不能写作两整数之比的数称为无理数，也称为无限不循环小数。由所有有理数与无理数组成的集合称为实数集$\mathbb{R}$

函数

定义

给定一个数集$A$，假设其中的元素为$x$，对$A$中的元素$x$施加对应法则$f$，记作$f(x)$，得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用函数(function)$y=f(x)$表示。函数是一个对应法则 $$ f:A \rightarrow B $$

常见函数

常数函数(constant functions)

$$ f(x) = c $$

c为常数

线性函数(linear functions)

$$ f(x) = a x $$

幂函数函数(power functions)

$$y=x^{\alpha}$$

指数为常数

多项式函数(polynomial functions)

多项式函数有多个幂函数组成 $$ f(x) = \displaystyle\sum_{p=0}^P \beta_p x^p $$

有理函数(rational functions)

有理函数被定义为多项式函数的比值: $$ f(x) = \dfrac{\displaystyle\sum_{p=0}^P \beta_p x^p}{\displaystyle\sum_{k=0}^K \alpha_k x^k} $$

指数函数(exponential functions)

$$y=a^x$$

$a$为常数且以$a>0，a≠1$ 指数运算法则 $$ y^a y^b = y^{a+b} $$

对数函数(logarithm functions)

对数运算法则 $$ \log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b) $$

$$ \log\Big(\dfrac{a}{b}\Big) = \log(a) - \log(b) $$

三角函数( Trigonometric functions)

三角函数与圆紧密相连。以原点为圆心，半径为1的圆的方程为:

$$ \color{blue}{x^2} + \color{green}{y^2} = 1 $$

圆中的每个点都由一个角度$\color{purple}{\theta}$唯一定义，范围从$0$到$2 \pi$弧度。圆中的点可以用余弦函数和正弦函数表示为角度的函数:

$$ \color{blue}{\cos(\color{purple}{\theta})^2} + \color{green}{\sin(\color{purple}{\theta})^2} = 1~. $$

因此，余弦函数给出半径为1的圆上一点的$x$坐标，而正弦函数给出$y$坐标。 从图中可以清楚地看出，当$\color{purple}{\theta}$等于0时，sin等于0,cos等于1。相反，当$\color{purple}{\theta}$等于$\pi/2$时，余弦为0，正弦为1。 结果是上下振荡的函数.

三角函数重要性质： $$ \cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1. $$

$$ \sin(x) = \cos(x + \pi/2) $$$$ \cos(x) = \sin(x - \pi/2) $$$$ \sin(2x) = 2\cos(x)\sin(x) $$$$ \cos(2x) = \cos(x)^2 - \sin(x)^2 $$$$ \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) $$$$ \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(y)\sin(x) $$$$ \sin\Big(\frac{x}{2}\Big)^2 = \frac{1 - \cos(x)}{2} $$$$ \cos\Big(\frac{x}{2}\Big)^2 = \frac{1 + \cos(x)}{2} $$

各函数示例图像如下：

参考资料

• https://baike.baidu.com/item/%E9%9B%86%E5%90%88/2908117
• https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0
• https://baike.baidu.com/item/%E5%87%BD%E6%95%B0/301912
• https://baike.baidu.com/item/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0
• https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0
• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_1.svg/500px-Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_1.svg.png

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline
plt.rcParams['font.family']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.figure(figsize=(20,10))


# constant
plt.subplot(2,4,1)
f1 = lambda x: 2
x_range = np.linspace(-1,1,100)
p = 3
plt.plot(x_range, [f1(x) for x in x_range], label="f(x) = 2")
plt.xlim(min(x_range), max(x_range))
plt.legend(loc="best")
plt.title('常数函数')


# linear
plt.subplot(2,4,2)
f2 = lambda x: 2*x
f_inv =  lambda x: x/2

x_range = np.linspace(-1,1,100)
p = 3
plt.plot(x_range, [f2(x) for x in x_range], label="f(x) = 2x")
plt.plot(x_range, [f_inv(x) for x in x_range], label="f^-1(x) = x/2")
plt.xlim(min(x_range), max(x_range))
plt.legend(loc="best")
plt.title('线性函数')

# power
plt.subplot(2,4,3)
f3 = lambda x,p: x**p

for p in range(6):
    plt.plot(x_range, f3(x_range, p), label="f(x) = x^{}".format(p))
plt.xlim(min(x_range), max(x_range))
plt.legend(loc="best")
plt.title('幂函数')

# polynomial
plt.subplot(2,4,4)
x_range = np.linspace(-3,3,200)

f4 = lambda x: 1 - 5*x + x**3 
        
plt.plot(x_range, [f4(x) for x in x_range], label=r"$f(x) =1 - 5x + x^3 $")
plt.xlim(min(x_range), max(x_range))
#plt.ylim(-1.5, 1.5)
plt.legend(loc="best")
plt.title('多项式函数')

# rational 
plt.subplot(2,4,5)
f5 = lambda x: (1+x**2 - 10*x**3)/x if np.abs(x)>10**-3 else np.nan

x_range = np.linspace(-2,2,10000)
p = 3

plt.plot(x_range, [f5(x) for x in x_range], label=r'$\frac{1+x^2-10x^3}{x}$')
plt.xlim(min(x_range), max(x_range))
plt.legend(loc="best")
plt.ylim(-50,50)
plt.title('有理函数')

# exponential
plt.subplot(2,4,6)
from scipy.special import factorial 
x_range = np.linspace(-4,4,100)

plt.plot(x_range, np.exp(x_range), c="k", lw=2, label="$e^x$")
plt.xlim(-4,4)
plt.ylim(-1,4)
plt.legend(loc="best")
plt.title("指数函数")

# logarithm
plt.subplot(2,4,7)
x_range = np.linspace(0.001,2,100)
plt.plot(x_range, np.log(x_range), c="k", lw=2,label=r'$\ln x$')
plt.xlim(0,2)
plt.legend(loc="best")
plt.title("对数函数")

# triangular
plt.subplot(2,4,8)
x_range = np.linspace(0,2*np.pi,300)

plt.plot(x_range, np.sin(x_range), lw=2, label="sin(x)", c="g")
plt.plot(x_range, np.cos(x_range), lw=2, label="cos(x)", c="b")
plt.xlim(0,2*np.pi)
plt.legend(loc="best")
plt.title("三角函数")
plt.tight_layout()
plt.savefig('images/cal0202.png')