高等数学

Wang Haihua

🍈 🍉🍊 🍋 🍌

积分的性质(properties of integrals)

积分遵循几个非常重要的性质.

求和法则

首先是积分的求和法则。

考虑两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们和的积分等于它们的积分的和:

$$ \displaystyle\int_a^b (f(x) + g(x))dx = \displaystyle\int_a^b f(x) dx + \displaystyle\int_a^b g(x) dx $$

此外，常数$c$可以从积分中“取出”:

$$ \displaystyle\int_a^b (c \cdot f(x))dx = c \displaystyle\int_a^b f(x) dx $$

我们也有一个关于不同边界点积分的简单规则。对于三个点$a < b < c$。函数$f(x)$在$a$和$c$之间的积分可以分解为两个积分:

$$ \displaystyle\int_a^c f(x) dx = \displaystyle\int_a^b f(x) dx + \displaystyle\int_b^c f(x) dx $$

这个属性在下面的图中显示出来: prop 同样，根据定义，从$b$和$a$之间的积分，其中$b > a$ 等于从$a$到$b$积分的相反数：

$$ \displaystyle\int_b^a f(x) dx = -\displaystyle\int_a^b f(x) dx $$

最后，考虑一个函数$f_{-}(x)$，它只假定负数。$f_{-}(x)$的积分等于$f(x)$与$x$-轴之间形状下面积的负数:

$$ \displaystyle\int_b^a f_{-}(x) dx = -1 \times \text{曲线下方阴影部分面积} $$

prop

因此，积分可以同时设正值和负值。如果负的部分和正的部分面积相同，积分也可以等于零。一个例子是

$$ \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) dx = 0 $$

如下图所示: prop

利用极限求积分

现在我们知道了如何定义积分，我们可以试着计算一些简单函数下的面积。仅仅通过定义来求解积分是相当具有挑战性的。然而，也非常有意义。之后我们会学习一些强大的积分求解工具，这会让求解更简单。 考虑以下积分:

$$ \displaystyle\int_0^b x^2 dx $$

根据积分的定义，我们有 $$ \displaystyle\int_0^b x^2 dx = \displaystyle\lim_{N \rightarrow \infty} \displaystyle\sum^{N-1}_{n=0} x_n^2 \Delta x $$

这里每个小长方形的宽度为

$$ \Delta x = \dfrac{b - 0}{N} = \dfrac{b}{N} $$

第 $n$个矩形最左边的坐标是

$$ x_n = n \Delta x = \dfrac{n}{N} b $$

利用上述公式，我们重新写积分：

$$ \displaystyle\sum^{N-1}_{n=0} x_n^2 \Delta x = \displaystyle\sum^{N-1}_{n=0} \dfrac{n^2}{N^3} b^3 = \dfrac{b^3}{N^3} \displaystyle\sum^{N-1}_{n=0} n^2 $$

接下来再使用一个求前$N$的平方数的和的公式:

$$ \displaystyle\sum^{N-1}_{n=0} n^2 = \dfrac{(N-1)N(2N -1)}{6} $$

于是

$$ \displaystyle\sum^{N-1}_{n=0} x_n^2 \Delta x = b^3 \dfrac{(N-1)N(2N -1)}{6 N^3} = b^3 \dfrac{2N^3 -3 N^2 + 6}{6 N^3} $$

最后求$N$趋于无穷时的极限：

$$ \displaystyle\int_0^b x^2 dx = \displaystyle\lim_{N \rightarrow \infty} b^3 \dfrac{2N^3 -3 N^2 + 6}{6 N^3}= b^3 \displaystyle\lim_{N \rightarrow \infty} \dfrac{2N^3}{6 N^3} = \dfrac{1}{3} b^3 $$

这样我们就求出来了上述的积分值

$$ \displaystyle\int_0^b x^2 dx = \dfrac{1}{3} b^3 $$

prop

微分(Differentials)

给定一个函数$g(x)$，我们可以得到一个有限差分$g(x) = g(x + h) - g(x)$。类似地，微分 $d g(x)$，表示$g(x)$的值有一个无限小的差异。

更准确地说，微分是一种通过产生有限差分来对函数积分的对象。例如，在前面的积分定义中，对象$dx$是一个微分，它产生的差值形式为$(x + h) - x$。

更一般地，函数$f(x)$对$dg(x)$的积分定义如下: $$\displaystyle\int_a^b f(x) dg(x) = \displaystyle\lim_{N \rightarrow \infty} \displaystyle\sum^{N-1}_{n=1} f(x_n) \Delta g(x_{n}) = \displaystyle\lim_{N \rightarrow \infty} \displaystyle\sum^{N-1}_{n=1} f(x_n) \left(g(x_{n+1}) - g(x_{n}) \right)$$

微分的性质

数乘

设 $c$ 为常数， $f(x)$是函数，则有 $$ d (c f(x)) = c df(x) $$

和

$$ d (f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x) $$

积

$$ d \left(f(x) g(x) \right) = g(x) df(x) + f(x) dg(x) $$

链式法则

$$ d \left( f\big(y(x)\big) \right) = \dfrac{df (y(x))}{dy} dy(x)$$

特别地, 如果 $y(x) = x$, 则:

$$ d f(x) = \dfrac{df}{dx} dx$$

我们稍后会看到，这是微积分基本定理的陈述。

积分关于微分的一些性质

关于微分的积分与积分具有相同的性质。

数乘

$$ \displaystyle\int_a^b (c \cdot g_1(x) df_1(x)) = c \displaystyle\int_a^b g_1(x) df_1(x) $$

和

$$ \displaystyle\int_a^b (g_1(x) df_1(x) + g_2(x) df_2(x)) = \displaystyle\int_a^b g_1(x) df_1(x) + \displaystyle\int_a^b g_2(x) df_2(x) $$

分割积分定义域(Splitting domain of integration)

$a < b < c$

$$ \displaystyle\int_a^c g(x) df(x) = \displaystyle\int_a^b g(x) df(x) + \displaystyle\int_b^c g(x) df(x) $$$$ \displaystyle\int_b^a g(x) df(x) = -\displaystyle\int_a^b g(x) df(x) $$

求和法则

利用极限求积分