高等数学

Wang Haihua

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微积分基本定理(The foundamental theorem of calculus)

微积分基本定理很强大，它将导数的概念与积分的概念联系起来。在实践中，基本定理提供了一种简单的方法来求解函数$f(x)$的积分，我们所知道的原始函数$f(x)$是这样的: $$ \dfrac{dF(x)}{dx} = f(x) $$

有些人把对给定的$F(x)$求原始的$F(x)$的运算称为不定积分，因为它是求函数导数的反问题。

微积分基本定理陈述如下：

$$ f(x) dx = \dfrac{dF(x)}{dx} dx = d F(x) $$

我们来看看如何用这个定理解积分。考虑以下积分:

$$ \displaystyle\int_a^b f(x) dx $$

假设我们已知函数$F(x)$ 使得 $\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$. 然后我们可以用基本定理来变换我们的积分，如下:

$$ \displaystyle\int_a^b f(x) dx = \displaystyle\int_a^b \dfrac{dF(x)}{dx} dx = \displaystyle\int_a^b dF(x) $$

现在我们需要一种方法来求解这种形式的积分:

$$ \displaystyle\int_a^b dF(x) $$

为此，我们可以尝试直接使用以下定义:

$$ \displaystyle\int_a^b dF(x) = \displaystyle\lim_{N \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \left(F(x_{n+1}) - F(x_n)\right) $$

这是一个伸缩求和(telescopic sum)，指的是是求和中除了两项以外的所有项都完全抵消了。实际上

\begin{aligned} \displaystyle\sum_{n=1}^{N-1} \left(F(x_{n+1}) - F(x_n)\right) &= (\color{red}{F(x_1)} - \color{blue}{F(x_0)}) + (\color{orange}{F(x_2)} - \color{red}{F(x_1)} ) + ... + (\color{purple}{F(x_{N-1})} - \color{green}{F(x_{N-2})}) + (\color{brown}{F(x_{N})} - \color{purple}{F(x_{N-1})}) \\ &= - \color{blue}{F(x_0)} + (\color{red}{F(x_1)} - \color{red}{F(x_1)}) + (\color{orange}{F(x_2)} - \color{orange}{F(x_2)}) + ... + (\color{purple}{F(x_{N-1})} - \color{purple}{F(x_{N-1})}) + \color{brown}{F(x_{N})} \\ &= - \color{blue}{F(x_0)} + \color{brown}{F(x_{N})}\\ &= \color{brown}{F(b)} - \color{blue}{F(a)} \end{aligned}

这使得我们可以很容易地计算极限并求解积分:

$$ \displaystyle\int_a^b dF(x) = \displaystyle\lim_{N \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \left(F(x_{n+1}) - F(x_n)\right) = \displaystyle\lim_{N \rightarrow \infty} (F(b) - F(a)) = F(b) - F(a) $$

综上： $$ \displaystyle\int_a^b f(x) dx = \displaystyle\int_a^b \dfrac{dF(x)}{dx} dx = \displaystyle\int_a^b dF(x) = F(b) - F(a) $$

例1

考虑如下积分 $$ \displaystyle\int_0^{b} x^2 dx $$ 要积分的函数是$f(x) = x^2$。很容易验证这个函数的原函数是: $$ F(x) = \dfrac{1}{3} x^3 $$ 微积分基本定理告诉我们 $$ f(x) dx = \dfrac{dF(x)}{dx} dx = d F(x) $$ 在这种情形下意味着 $$ x^2 dx = d\Big(\dfrac{1}{3} x^3\Big) $$ 因此 $$ \displaystyle\int_0^{b} x^2 dx = \displaystyle\int_0^{b} d (\dfrac{1}{3} x^3) = \dfrac{1}{3} b^3 - \dfrac{1}{3} 0^3 = \dfrac{b^3}{3} $$

例2

$$ \dfrac{d \sin(x)}{dx} = \cos(x) $$$$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} d\sin(x) = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$$

例3

$$ \dfrac{d \mathrm{e}^{3x}}{dx} = 3 \mathrm{e}^x $$

因此 $\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}$ is a primitive of $\mathrm{e}^{3x}$.所以有

$$ \int_0^{1} e^{3x} dx = \int_0^{1} d(\frac{1}{3}e^{3x}) = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3} e^0 = \frac{1}{3}(e^3 - 1) $$