Wang Haihua
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代换积分法用于将积分转化为更简单的积分。这是微分链式法则的一个简单结论。
首先，我们来复习一下微分链式法则
$$ dg(x) = \dfrac{dg(x)}{d(x)} dx $$现在考虑如下形式积分
$$ \displaystyle\int_a^b f(g(x)) \left( \dfrac{dg(x)}{d(x)} \right) dx $$使用链式法则将上式转化
$$ \displaystyle\int_a^b f(g(x)) \left( \dfrac{dg(x)}{d(x)} \right) dx = \int_a^b f(g(x)) dg(x) $$新的积分就好求了。
考虑如下积分 $$ \displaystyle\int_0^{\sqrt{\pi/2}} \cos(x^2) x dx $$
在这个例子中 $g(x)$ 是:
$$ g(x) = x^2 $$$g(x)$ 导数是
$$ \dfrac{dg(x)}{dx} = 2 x $$因此我们重写积分式得：
$$ \displaystyle\int_0^{\sqrt{\pi/2}} \cos(x^2) x dx = \dfrac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi/2}} \cos(x^2) \left( 2 x \right) dx = \dfrac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi/2}} \cos(g(x)) \left( \dfrac{dg(x)}{dx} \right) dx $$使用链式法则
$$ \begin{aligned} \displaystyle\int_0^{\sqrt{\pi/2}} \cos(x^2) x dx &= \dfrac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi/2}} \cos(g(x)) \left( \dfrac{dg(x)}{dx} \right) dx\\ &= \dfrac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi/2}} \cos(g(x)) dg(x) \end{aligned} $$这个新的积分很容易解，因为它只是cos的积分。利用微分链式法则，我们可以将积分变换如下: $$ \cos(g(x)) dg(x) = \dfrac{d\sin(g(x))}{dg(x)} dg(x) = d\sin(g(x)) $$ 因此 $$ \dfrac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi/2}} \cos(g(x)) dg(x) = \dfrac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi/2}} d\sin(g(x)) = \sin(g(\sqrt{\pi/2})) - \sin(g(0)) = \sin(\sqrt{\pi/2}^2) = \sin(\pi/2) = 1 $$
还原积分法有时也可以用在相反的方向上。 考虑以下积分:
$$ \displaystyle\int_a^b f(x) dx $$函数 $g(x)$是单调的所以它有逆函数 $g^{-1}(x)$: $$ g^{-1}(g(x)) = x $$
利用这个公式，我们可以将积分改写为:
$$ \displaystyle\int_a^b f(x) dx = \displaystyle\int_a^b f(g^{-1}(g(x))) dx $$我们现在需要将微分改为$dg(x)$。首先利用链式法则： $$ \dfrac{dg(x)}{dx} dx = dg(x) $$ 接下来 $$ dx = \dfrac{1}{\frac{dg(x)}{d g(x)}} dg(x) $$ 现在我们可以使用逆函数的导数公式: $$ \dfrac{dg^{-1}(g(x))}{d g(x)} = \dfrac{1}{\frac{dg(x)}{dx}} $$ 利用此公式，可得: $$ dx = \dfrac{dg^{-1}(g(x))}{d g(x)} dg(x) $$
因此我们将积分改写为
$$ \displaystyle\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(g^{-1}(g(x))) dx = \int_a^b f(g^{-1}(g(x)))\dfrac{dg^{-1}(g(x))}{d g(x)} dg(x) $$这虽然看起来比原来的积分复杂多了，但是，有时这种操作会导致更简单的积分。
考虑如下积分 $$ \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} dx $$ 现在考虑反三角函数 $g(x) = \arcsin(x)$,也就是正弦函数的反函数。所以它的逆函数是 $$ g^{-1}(x) = \sin(x) $$ 利用这些函数，我们可以将积分改写为: $$ \begin{aligned} \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} dx &= \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - g^{-1}(g(x))^2} dx \\ &= \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - \sin(\arcsin(x))^2} dx \end{aligned} $$ 这个表达看起来很复杂!然而，我们可以使用正弦函数的一个性质来简化它: $$ 1 - \sin(x)^2 = \cos(x)^2 $$
利用这个公式，我们得到以下积分:
$$ \int_0^1 \cos(\arcsin(x)) dx = \int_0^1 \cos(g(x)) dx $$为了使用第二换元积分公式，我们需要计算逆函数的导数: $$ \dfrac{dg^{-1}(g(x))}{d g(x)} = \dfrac{d\sin(g(x))}{d g(x)} = \cos(g(x)) $$
因此积分就变成了
$$ \begin{aligned} \int_0^1 \cos(g(x)) dx &= \int_0^1 \cos(g(x)) \cos(g(x)) dg(x) \\ &= \int_0^1 \cos(g(x))^2 dg(x) \end{aligned} $$将 $\cos(x)^2$ 换成 $\frac{1}{2}(x - \sin(x)\cos(x))$，就有
$$ \begin{aligned} \int_0^1 \cos(g(x))^2 dg(x) &= \int_0^1 d\left(g(x) - \sin(g(x))\cos(g(x))\right)\\ &= \dfrac{1}{2}(g(1) - \sin(g(1))\cos(g(1))) - \dfrac{1}{2}((g(0) - \sin(g(0))\cos(g(0)))) \\ &= \dfrac{1}{2}(\arcsin(1) - \sin(\arcsin(1))\cos(\arcsin(1))) - \dfrac{1}{2}((\arcsin(0) - \sin(\arcsin(0))\cos(\arcsin(0)))) \\ &= \dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2} - 0\\ &= \dfrac{\pi}{4} \end{aligned} $$