多元函数的极限

定义1 设 $n$ 元函数 $f(P), P \in D \subset \mathrm{R}^{n}, P_{0}$ 是 $D$ 的聚 点, 若存在常数 $A$, 对任意正数 $\varepsilon$, 总存在正数 $\delta$, 对一 切 $P \in D \cap U\left(P_{0}, \delta\right)$, 都有 $|f(P)-A|<\varepsilon$, 则称 $A$ 为函数 $f(P)$ 当 $P \rightarrow P_{0}$ 时的极限, 记作 $$ \lim _{P \rightarrow P_{0}} f(P)=A \text { (也称为 } n \text { 重极限) } $$ 当 $n=2$ 时, 记 $\rho=\left|P P_{0}\right|=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ 二元函数的极限可写作: $$ \lim _{\rho \rightarrow 0} f(x, y)=A=\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=A $$

例1. 设 $f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \quad\left(x^{2}+y^{2} \neq 0\right)$ 求证: $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0$.

证: $\because\left|\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-0\right| \leq x^{2}+y^{2}<\varepsilon$ $\therefore \forall \varepsilon>0, \exists \delta=\sqrt{\varepsilon}$, 当 $0<\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta$ 时, 总有 $$ |f(x, y)-0| \leq x^{2}+y^{2}<\delta^{2}=\varepsilon $$ 故 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0$

例2. 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x}, & x y \neq 0 \\ 0 & x y=0\end{array}\right.$ 求证: $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0$.

证: $\because|f(x, y)-0| \leq\left|x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x}\right|$ $\leq|x|+|y| \leq 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon$ $\therefore \forall \varepsilon>0, \exists \delta=\varepsilon / 2$, 当 $0<\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta$ 时, 总有 $|f(x, y)-0| \leq 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}<2 \delta=\varepsilon$ 故 $\quad \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0$

• 若当点 $P(x, y)$ 以不同方式趋于 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在, 则可以断定函数极限 不存在.

例3. 讨论函数 $f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ 在点 $(0,0)$ 的极限.

解: 设 $P(x, y)$ 沿直线 $y=k x$ 趋于点 $(0,0)$, 则有 $$ \begin{gathered} \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=k x}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{k x^{2}}{x^{2}+k^{2} x^{2}}=\frac{k}{1+k^{2}} \\ k \text { 值不同极限不同！ } \end{gathered} $$ 故 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点极限不存在.

• 二重极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)$ 与累次极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \lim _{y \rightarrow y_{0}} f(x, y)$ 及 $\lim _{y \rightarrow y_{0}} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 例如, $f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$, 显然 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=0, \quad \lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=0 $$ 但由例 3 知它在 $(0,0)$ 点二重极限不存在.

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