多元函数的连续性

定义1. 设 $n$ 元函数 $f(P)$ 定义在 $D$ 上, 聚点 $P_{0} \in D$, 如果存在 $$ \lim _{P \rightarrow P_{0}} f(P)=f\left(P_{0}\right) $$ 则称 $n$ 元函数 $f(P)$ 在点 $P_{0}$ 连续, 否则称为不连续, 此时 $P_{0}$ 称为间断点. 如果函数在 $D$ 上各点处都连续, 则称此函数在 $D$ 上连续.

例如, 函数 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right. $$ 在点 $(0,0)$ 极限不存在, 故 $(0,0)$ 为其间断点. 又如, 函数 $$ f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}-1} $$ 在圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 上间断. 结论：一切多元初等函数在定义区域内连续.

闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质： 定理：若 $f(P)$ 在有界闭域 $D$ 上连续, 则

• (1) $\exists K>0$, 使 $|f(P)| \leq K, P \in D$; (有界性定理)
• (2) $f(P)$ 在 $D$ 上可取得最大值 $M$ 及最小值 $m$; (最值定理)
• (3) 对任意 $\mu \in[m, M], \exists Q \in D$, 使 $f(Q)=\mu$; (介值定理)
• (4) $f(\mathrm{P})$ 必在 $\mathrm{D}$ 上一致连续. （一致连续性定理)

例1. 求 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sqrt{x y+1}-1}{x y}$.

解: 原式 $=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{(\sqrt{x y+1})^{2}-1}{x y(\sqrt{x y+1}+1)}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{1}{\sqrt{x y+1}+1}=\frac{1}{2}$

例2. 求函数 $f(x, y)=\frac{\arcsin \left(3-x^{2}-y^{2}\right)}{\sqrt{x-y^{2}}}$ 的连续域.

解: $\left\{\begin{array}{l}\left|3-x^{2}-y^{2}\right| \leq 1 \\ x-y^{2}>0\end{array}\right.$ $$ \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \\ x>y^{2} \end{array}\right. $$

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