高等数学

Wang Haihua

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贝叶斯定理

贝叶斯定理也被称为 逆概率定理. 这个定理的用处正如名字所言, 当我们知道了 $p(A|B)$, 贝叶斯定理会帮我们求$P(B|A)$.

我们来简单看下贝叶斯公式的由来。首先看条件概率 $$ P(A|B)P(B)=P(A\cap B)\\ P(B|A)P(A)=P(A\cap B) $$

移项之后就得到了贝叶斯公式： $$ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} $$

如果事件B被划分为k个部分, P(A)就能明确地写成全概率形式：

$$ P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{i=0}^k P(A|B_i)P(B_i)} $$

由于贝叶斯定理可能有点违反直觉，所以可能需要一些时间来理解隐藏在背后的复杂逻辑。我们将通过一些例子，来深刻理解这一点。

例1-是否说谎

假设一个人三次中有两次说真话。他扔一个骰子，告诉别人他得到的数字是4。求得到的数字是确实是4的概率。

设事件

• B: 说的是真话
• A: 报告的结果是4

$$p(B|A) = \frac{p(A|B)p(B)}{p(A)}=\frac{\frac{1}{6}\frac{2}{3}}{\frac{1}{6}\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\frac{1}{3}}$$

计算结果为 $$ p(B|A) = 28.571\%$$ 也就是说这个人得到的数确实是4的概率不足30%。

例2-疾病诊断

每1万人中有1人患有某种疾病。有一种测试可以检查这个人是否患有这种疾病。这项测试相当准确。已知

1. 在人没有患病的情况下，检测结果呈阳性(表明此人患病)的概率只有2%;
2. 在人患病的情况下，检测结果为阴性(表明患者没有患病)的可能性只有1%。 请问：随机抽取一个人做疾病测试，结果是阳性的。这个人患病的概率是多少?

设事件：

• A: 检测结果为阳性
• B: 人患病 由贝叶斯公式可得：

$$p(B|A) = \frac{p(A|B)p(B)}{p(A|B)p(B)+p(A|B^c)p(B^c)}= \frac{(1- .01)\times.0001}{(1- .01)\times.0001+.02\times(1-.0001)}$$

计算上式结果得到 $$p(B|A)= 0.493\%$$

结果令人惊讶。但是如果你再仔细考虑一下,会发现一个明显的事实是大部分人是没有患病的(只有万分之一的人患病），我们称这个事实为先验事实。在本问题中，我们需要意识到，即使一个人的结果是阳性的，但他极有可能来自健康群体。考虑到先验事实，我们再来具体计算

• 首先，我们计算结果为阳性结果可能的来源，一种是没有患病的被误诊为阳性，另一种是患病被确诊为阳性。
• 接下来，计算患病且被确诊为阳性的人占总共被诊断为阳性的人的比例。 这样我们就计算出了正确的结果。 结果之所以这么小，一方面分子过小，这是由于疾病罕见导致的；另一方面分母过大，虽然看起来检测的不准确率很低1%左右，但相比于疾病的罕见程度(0.01%)还是有点太高了。

小结

本文通过两个小例子解释了贝叶斯公式的应用。例子虽然不多，用心体会也会把握贝叶斯公式的精髓。贝叶斯公式应用广泛，可以尝试从生活中找些例子进行分析和应用。