定义

在概率论中，贝塔分布，也称$\beta$分布，是指一组定义在 $(0,1)$ 区间的连续概率分布，有两个参数 $\alpha, \beta>0$ 。

概率密度函数

B分布的概率密度函数是: $$ f(x ; \alpha, \beta)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1} d u}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}=\frac{1}{B(\alpha, \beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} $$ 其中 $\Gamma(z)$ 是「函数。随机变量X服从参数为 $\alpha, \beta$ 的B分布通常写作 $$ X \sim \operatorname{Be}(\alpha, \beta) $$

累积分布函数

贝塔分布的累积分布函数是 : $$ F(x ; \alpha, \beta)=\frac{\mathrm{B}_x(\alpha, \beta)}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}=I_x(\alpha, \beta) . $$ 其中 $\mathrm{B}_x(\alpha, \beta)$ 是不完全B函数， $I_x(\alpha, \beta)$ 是正则不完全贝塔函数。

性质

1. 参数为 $\alpha, \beta$ 贝塔分布的众数是$ $$ \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2} $$

2. 期望值和方差分别是: $$ \begin{gathered} \mu=\mathrm{E}(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \\ \operatorname{Var}(X)=\mathrm{E}(X-\mu)^2=\frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} \end{gathered} $$

3. 偏度是: $$ \frac{\mathrm{E}(X-\mu)^3}{\left[\mathrm{E}(X-\mu)^2\right]^{3 / 2}}=\frac{2(\beta-\alpha) \sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2) \sqrt{\alpha \beta}} . $$

4. 峰度是: $$ \frac{\mathrm{E}(X-\mu)^4}{\left[\mathrm{E}(X-\mu)^2\right]^2}-3=\frac{6\left[\alpha^3-\alpha^2(2 \beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2 \alpha \beta(\beta+2)\right]}{\alpha \beta(\alpha+\beta+2)(\alpha+\beta+3)} $$

实例

空气中含有的气体状态的水分。表示这种水分的一种办法就是相对湿度。即含水量与空气的最大含水量 (饱和含水量) 的比 值。我们听到的天气预告用语中就经常使用相对湿度这个名词。

相对湿度的值显然仅能出现于 0 到1之间 (经常用百分比表示)。而空气为什么出现某个相对湿度显然具有随机性 (可以利用 最复杂原理），这些提示我们空气的相对湿度可能符合贝塔分布。

马淑红等人完成的《塔里木气候极值及其在油田工程设计中的应用》研究中 (同名的书由气象出版社于1995年出版见138142页），刘绍民等人分析了冬季塔里木盆地的日最大相对湿度和夏季日最小相对湿度。证实它们都符合贝塔分布。

参考资料：

• https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9D%E5%A1%94%E5%88%86%E5%B8%83/8994021
• Morris H Degroot ,李永镇 ,李家凤. 贝塔分布、多项分布与二元正态分布[J]. 邵阳高专学报,1994,02:189-193.
• 徐传胜. 贝塔分布的有关性质及应用探讨[J]. 临沂师范学院学报,2001,04:6-8.