简单相关分析 (bivariate) 是最简单也是最常用的一种相关分析方法,共基本功能是可以研究变量之间的线性相关程度并用适当的统计指标表示出来。

简单相关系数的计算

两个随机变量 $(X, Y)$ 的 $n$ 个观测值为 $\left(x_i, y_i\right), i=1,2, \cdots, n$, 则 $(X, Y)$ 之间的相关系数 计算公式如下： $$ r=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}} $$ 其中 $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, \bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$ 分别为随机变量 $X$ 和 $Y$ 的均值。 可以证明: $-1 \leqslant r \leqslant 1$, 即 $|r| \leqslant 1$, 于是有:

• 当 $|r|=1$ 时, 实际 $y_i$ 完全落在回归直线上, $y$ 与 $x$ 完全线性相关;
• 当 $0<r<1$ 时, $y$ 与 $x$ 有一定的正线性相关, 越接近 1 则相关性越强;
• 当 $-1<r<0$ 时, $y$ 与 $x$ 有一定的负线性相关, 越接近 $-1$ 则相关性越强。 ## 简单相关系数的显著性检验 由于抽样误差的存在, 当相关系数不为 0 时, 不能说明两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间的相关系数不为 0 , 因此需要对相关系数是否为0 进行检验, 即检验相关系数的显著性。

（1）先建立原假设 $H_0$ 利备择假设 $H_1$ $H_0: r=0$, 相关系数为 0
$H_1: r \neq 0$, 相关系数不为 0
(2) 建立统计量 $t=r \sqrt{n-2} / \sqrt{1-r^2}$, 其中 $r$ 为相关系数, $n$ 为样本容量。
(3) 给定显著水平,一般为 $0.05$ 。
(4) 计算统计量的值。
在 $H_0$ 成立的条件下, $t=r \sqrt{n-2} / \sqrt{1-r^2}$, 否定域 $\theta=\left\{|t|>t_{e / 2}(n-2)\right\}$ 。
(5) 统计决策 对于给定的显著性水平 $\alpha$, 查 $t$ 分布表得临界值 $t_{\alpha / 2}(n-2)$, 将 $t$ 值与临界值进行比较:

• 当 $|t|<t_{e / 2}(n-2)$, 接受 $H_0$ ，表示总体的两变量之间线性相关性不显著;
• 当 $|t| \geqslant t_{a / 2}(n-2)$, 拒绝 $H_0$, 表示总体的两变量之间线性相关性显著(即样本相关系数的绝对值接近 1 ,并不是由于偶然机会所致)。

参考资料

• 朱顺泉 经济金融数据分析及其Python应用