定义1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵两行的位置, 记作 $r_{i} \leftrightarrow r_{j}$;
(2) 以数 $k(k \neq 0)$ 乘以矩阵某一行的所有元素, 记 作 $k \cdot r_{i}$;
(3) 矩阵的第 $i$ 行各元素的 $k$ 倍加到第 $j$ 行各元 素上, 记作$r_j+kr_i$
通常称 (1) 为对换变换, （2）为倍乘变换, （3）为倍加变换.
以上三种变换中的行改为列, 称为矩阵的初等列变换，相应地记为 $c_{i} \leftrightarrow c_{j}, k \cdot c_{i}$ 和 $c_{j}+k c_{i}$. 矩阵的初等行变换和初等列变换, 统称为矩阵的初等变换。
若矩阵 $\mathrm{A}$ 经过有限次初等变换化成矩阵 $\mathbf{B}$, 则称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 矩阵 $\mathrm{B}$ 等价, 记作 $\mathrm{A} \cong \mathbf{B}$ 或 $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$.
矩阵的等价具有以下性质（A, $\mathbf{B}, \mathbf{C}$ 都是 $m \times n$ 矩阵）
（1）反身性: $\mathbf{A} \cong \mathbf{A}$;
（2）对称性：若 $\mathbf{A} \cong \mathbf{B}$, 则 $\mathbf{B} \cong \mathbf{A}$.
（3）传递性: 若 $\mathbf{A} \cong \mathbf{B} 、 \mathbf{B} \cong \mathbf{C}$, 则 $\mathbf{A} \cong \mathbf{C}$.
行最简形矩阵, 其特点是：每个非零行左起第一个非零元素都是 1 , 它所在列的其余元素均为 0 . 例如： $$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & -3 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
任意 $m \times n$ 矩阵 $\mathrm{A}$ 和下面的 $m \times n$ 矩阵 $\mathrm{F}$ 等价： $$ \mathbf{F}=\left(\begin{array}{cc} \mathbf{E}_{\mathbf{r}} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right)_{m \times n} $$ 其中 $\mathrm{F}$ 完全由 $m, n, r$ 确定, $\mathbf{E}_{r}$ 是 $r$ 阶单位矩阵, $r$ 是阶梯形. 矩阵非零行的行数. 所有和矩阵 $\mathrm{A}$ 等价的矩阵组成一个集合, 成为一个等价 类, 而标准形 $\mathbf{F}$ 是这个等价类当中最简单的矩阵.
在 $m \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 中, 任取 $k$ 行与 $k$ 列 $(1 \leq k \leq \min \{m, n\})$, 位于这些行列交叉位置上的 $k^{2}$ 个元素, 按它们在 $\mathrm{A}$ 中的相对 位置构造一个行列式, 称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的 $k$ 阶子式. 易知 $m \times n$ 矩阵 $A$ 中有 $C_{m}^{k} \cdot C_{n}^{k}$ 个 $k$ 阶子式.
设在矩阵 $\mathrm{A}$ 中有一个不等于 0 的 $r$ 阶子式 $\mathrm{D}$, 且所有 $r+1$ 阶子式 (如果存在的话) 全等于 0 , 那么 $\mathrm{D}$ 称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的最高 阶非零子式, 数 $r$ 称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的秩, 记作 $R(A)$. 并规定零矩阵的秩等于 0 .
按定义, 矩阵的秩有下述性质：
(1) 设 $\mathbf{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, 则 $r(\mathbf{A}) \leq m, r(\mathbf{A}) \leq n$.
(2) $r(\mathbf{A})=r\left(\mathbf{A}^{T}\right)$;
(3) $r(k \mathbf{A})=r(\mathbf{A})$ (常数 $k \neq 0)$;
(4) 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵, 则 $r(\mathbf{A})=n$ 的充分必要条件是 $\quad|\mathbf{A}| \neq 0$
$n$ 阶矩阵的秩为 $n$ 时, 该矩阵称为满秩矩阵, 否则称 为降秩矩阵.
$m$ 个方程 $n$ 个末知数的线性方程组的一般形式为 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \quad \quad \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{array}\right. $$ 当 $b_{i}(i=1,2, \cdots, m)$ 不全为零时, 方程组称为非齐次线性方程组, 否则称为齐次线性方程组.