定理1：若 $\mathbf{A} 等价于 \mathbf{B}$, 则 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$.
推论 矩阵的秩即为矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数。
根据定理和推论, 为求矩阵的秩, 只要把用初等行变换变为行阶梯形矩阵, 阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。
$m$ 个方程 $n$ 个末知数的线性方程组的一般形式为 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \quad \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{array}\right. $$ 当 $b_{i}(i=1,2, \cdots, m)$ 不全为零时, 方程组称为非齐次线性 方程组, 否则称为齐次线性方程组.
定理2： $\mathrm{n}$ 元齐次线性方程组 $A_{m \times n} x=0$ 有非零解的充分必要条件是 系数矩阵的秩 $R(A)<n$. 本定理所述条件 $R(A)<n$ 的必要性是克拉默定理的推广 克拉默定理只适用 $\mathrm{m}=\mathrm{n}$ 的情形）, 其充分性则包含了克拉默 定理的逆定理.
方程组是否有解与系数矩阵 $\mathbf{A}$ 和右端向量 $\mathbf{b}$ 有关, 而与未知数本身的记法无关, 所以考察 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{b}$ 相当于考察方程组本身 , 为此构造矩阵 $$ (\mathbf{A} \mid \mathbf{b})=(\mathbf{A b})=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\ & \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} b_{m} \end{array}\right) $$ 这个矩阵称为方程组的增广矩阵
定理3：$n$ 元非齐次线性方程组 $A_{m \times n} x=0$ 有解的充分必要 条件是系数矩阵 $\mathrm{A}$ 的秩等于增广矩阵 $B=(A, b)$ 的秩.
解线性方程组的一般步骤是:
若 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A} \mid \mathbf{b})<n$, 则原方程组的解可写为写成向量形式 $$ \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} d_{1} \\ \vdots \\ d_{r} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)+k_{1}\left(\begin{array}{c} -c_{1, r+1} \\ \vdots \\ -c_{r, r+1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{c} -c_{1, r+1} \\ \vdots \\ -c_{r, r+2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ \left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n-r} \in R\right) \\ 0 \end{array}\right)+\cdots+k_{n-r}\left(\begin{array}{c} -c_{1 n} \\ \vdots \\ -c_{r n} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right) $$ 这里, $\mathrm{X}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ 是解向量.