单位矩阵 $\mathbf{E}$ 经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵:
(1) 交换矩阵: $$ \mathbf{E}(i, j)=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0 & \cdots & 1 & & \cdots \\ & & \vdots & \ddots & \vdots & & \\ & & 1 & \cdots & 0 & & \\ & & \vdots & & & \ddots & \\ & & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right) $$ 初等矩阵 $\mathbf{E}(i, j)$ 由单位矩阵 $\mathbf{E}$ 交换第 $i$ 行与第 $j$ 行得到.
（2）倍乘矩阵: $$ \mathbf{E}((k) i)=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & k & & \ldots \\ & & \vdots & \ddots & \\ & & \vdots & & 1 \end{array}\right) $$
（3）倍加矩阵：$$\mathbf{E}(i+(k) j)=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & k & & \cdots \\ & & \vdots & \ddots & \vdots & & \\ & & \vdots & \cdots & 1 & & \\ & & \vdots & & & \ddots & \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)$$
倍加矩阵 $\mathbf{E}(i+(k) j$ 由单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的第 $j$ 行乘以非零数 $k$ 以数加到第 $i$ 行得出, 或 E的第 $i$ 列乘以非零数 $k$ 加到第 $j$ 列 得出.
定理1：对 $m \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 施行一次初等行变换, 相当于用相应的 $m$ 阶初等矩阵左乘矩阵 $A$; 对矩阵 A施行一次初等列变换, 相当 于用相应的 $n$ 阶初等矩阵右乘矩阵 $\mathbf{A}$.
注：注意定理说法中 “相应的” 含义, 具体说来是 $\mathbf{E}(i, j) \mathbf{A} \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行互换;
$\mathbf{E}(i(k)) \mathbf{A} \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的第 $i$ 行乘 $k$;
$\mathbf{A} \cdot \mathbf{E}(i(k)) \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的第 $i$ 列乘 $k$;
$\mathbf{A} \cdot \mathbf{E}(i+j(k)) \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的第 $\boldsymbol{l}$ 列乘 $k$ 加到的第 $j$ 列上.
定理2: 设 $\mathrm{A}$ 为可逆矩阵, 则存在有限个初等矩阵 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{l}$, 使 $A=P_{1} P_{2} \cdots P_{l}$.
推论 $m \times n$ 矩阵 $A \square B$ 的充分必要条件是：存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathrm{Q}$, 使 $P A Q=B$.
用初等变换方法求矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ -1 & 5 & 6\end{array}\right)$ 的逆矩阵:
解: $\left(\begin{array}{cccccc}2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 5 & 6 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc}-1 & 5 & 6 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} -1 & 5 & 6 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 14 & 13 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 13 & 12 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1 & -5 & -6 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 13 & 12 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right) $$ $\rightarrow\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & -1 & -5 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 14 & -13 & 2\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & -19 & 18 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & -12 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 14 & -13 & 2\end{array}\right)$ $\rightarrow\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & -19 & 18 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & -12 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -14 & 13 & -2\end{array}\right)$ 所以 $B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-19 & 18 & -3 \\ 13 & -12 & 2 \\ -14 & 13 & -2\end{array}\right)$.