$n$ 个有次序的数 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}$ 组成的数组, 把它们排成一行 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}\right)$ 称为 $n$ 维行向量, 把它们排成一列 $$ \left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right) $$ 称为 $n$ 维列向量, 两者合称为 $n$ 维向量, $n$ 维向量的第 $i$ 个数 称为该向量的第 $i$ 个分量. 分量是实数的向量, 称为实向量, 分量是复数的向量, 称为复向量.
分量全为零的向量称为零向量, 记作 $\mathbf{0}$.
两个向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 和 $\boldsymbol{\beta}=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ 满足条件 $a_{i}=b_{i} \quad(i=1,2, \cdots, n)$
称这两个向量与相等, 记作. $\alpha=\beta$
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集 合叫向量组. 例如一个 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 有 $\mathrm{n}$ 个 $\mathrm{m}$ 维列向量 $$ a_{j}=\left(\begin{array}{l} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{m j} \end{array}\right),(j=1,2, \cdots, n) $$ 它们组成的向量组 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的列向量组. $m \times n$ 矩阵 $\mathrm{A}$ 又有 $\mathrm{m}$ 个 $\mathrm{n}$ 维向量 $$ a_{i}^{T}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right),(i=1,2, \cdots, m) $$
给定向量组 $A: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$, 对于任何一组实数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}$, 向量 $k_{1} a_{1}+k_{2} a_{2}+\cdots+k_{m} a_{m}$ 称为向量组 $\mathrm{A}$ 的一个线性组合, $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}$, 称为这个线性组合的系数.
$k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}$, 称为 这个线性组合的系数.
给定的向量组 $A: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$, 和向量 $\mathrm{b}$, 如果存在一组数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}$, 使 $$ b=k_{1} a_{1}+k_{2} a_{2}+\cdots+k_{m} a_{m} $$ 则向量 $\mathrm{b}$ 使向量 $\mathrm{A}$ 的线性组合, 这时称向量 $\mathrm{b}$ 能由向量组 $\mathrm{A}$ 线性表示.
定理1：向量 $\mathrm{b}$ 能由向量组 $\mathrm{A}$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $\mathrm{A}=$ $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right)$ 的秩等于矩阵 $B=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}, b\right)$ 的秩.
设 $\mathrm{S}$ 和 $\mathrm{T}$ 是两个 $\mathrm{n}$ 维向量组, 若向量组 $\mathrm{S}$ 中的任一向量能 由向量组 $\mathrm{T}$ 中的向量线性表示, 则称向量组 $\mathrm{S}$ 能由向量组 $\mathrm{T}$ 线 性表示. 若向量组 $\mathrm{S}$ 能由向量组 $\mathrm{T}$ 线性表示, 向量组 $\mathrm{T}$ 也能由 向量组 $S$ 线性表示, 则称向量组 $S$ 与向量组 $T$ 等价.
设有 $\mathrm{n}$ 维向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$, 若存在一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}$ $$ k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0} $$ 则称向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 是线性相关的，如果只有当 $$ k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n}=0 $$ 才能使上式成立, 称向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关.
定理2：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性相关的充分必要条件是它所构成 的矩阵 $A=\left(\alpha_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)$ 的秩小于向量个数 $\mathrm{m}$; 向量组线性无 关的充分必要条件是 $R(A)=m$
(1) 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 的一部分 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$,$(s<m)$ 线性相关, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 也线性相关, 反 之, 若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关, 则它的每一个部分组 也线性无关;
(2) 记 $$ \boldsymbol{\alpha}_{j}=\left(\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{r j} \end{array}\right), \boldsymbol{\beta_j}=\left(\begin{array}{c} a_{1,} \\ \vdots \\ a_{n j} \\ a_{r+1, j} \end{array}\right)(j=1,2, \cdots, m) $$ 即向量 $\boldsymbol{\beta}$ 是由向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 添加一个分量组成的. 若 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 是 线性无关，则 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{m}$ 也线性无关，若 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{m}$ 线性相关, 则 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 也线性相关.
(3) $\mathrm{m}$ 个 $\mathrm{n}$ 维向量组成的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 当 $n<m$ 时 向量组一定线性相关; （4）设向量组 $A \boldsymbol{a}_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关, 而向量组 B : $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关, 则向量 $\mathrm{b}$ 由向量组 $\mathrm{A}$ 线性表示, 而且表示式唯一.
设有向量组 A, 如果在 A中能选出 $\mathrm{r}$ 个向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$, 满足:
(1) 向量组 $A_{0}: \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$, 线性相关;
(2) 向量组 $\mathrm{A}$ 中任意 $r+1$ 个向量 (如果 $\mathrm{A}$ 中有 $r+1$ 个向量 的话）都线性相关, 那么称向量组 $A_{0}$ 是向量组 $\mathrm{A}$ 的一个最大线 性无关向量组 (简称最大无关组); 最大无关组所含向量个数 $r$ 称为向量组的秩. 只有零向量的向量组没有最大无关组, 规定它的秩为 0 .
定理 4 : 矩阵的秩的等于它的列向量组的秩, 也等于它的 行向量组的秩.
定理 5 : 设向量组 $\mathrm{B}$ 能由向量组 $\mathrm{A}$ 线性表示, 则向量组 $\mathrm{B}$ 的秩不大于向量组 $\mathrm{A}$ 的秩.
推论 1 等价的向量组的秩相等.
推论 2 设 $C_{m \times n}=A_{m \times s} B_{s \times n}$, 则 $$ R(C) \leq R(A), R(C) \leq R(B) $$
推论 3 设向量组 $\mathrm{B}$ 是向量组 $\mathrm{A}$ 的部分组, 若向量组 $\mathrm{B}$ 线 性无关, 且向量组 $\mathrm{A}$ 能由向量组 $\mathrm{B}$ 线性表示, 则向量组 $\mathrm{B}$ 是向 量组 $\mathrm{A}$ 的一个最大无关组.