设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合, 如果集合 $V$ 非空, 且集合 $V$ 对于 加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合 $\mathrm{V}$ 为向量空间. 所谓封闭, 是指在集合 $\mathrm{V}$ 中可以进行加法及乘数两种运算. 具体地说, 就是: 若 $a \in \mathbf{V}, \quad \mathrm{b} \in \mathbf{V}$, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b} \in \mathbf{V}$; 若 $\mathrm{a} \in \mathbf{V}$, $\lambda \in R$, 则 $\lambda a \in V$.
设有向量空间 $V_{1}$ 及 $V_{2}$ ，若 $V_{1} \subset V_{2}$, 就称 $V_{1}$ 是 $V_{2}$ 的子空间. 例如任何由 $\mathrm{n}$ 维向量所组成的向量空间 $\mathrm{V}$, 总有 $\mathrm{V} \subset R^{n}$ 所以这样的向量空间总是 $R^{n}$ 的子空间.
零空间是任意向量空间 $\mathrm{V}$ 的非空子集，若 $\mathrm{W}$ 对加法和数乘运算封闭, 则 $\mathrm{W}$ 成为 $\mathrm{V}$ 的子空间.
设 $\mathrm{V}$ 是向量空间, 若 $\mathrm{V}$ 中存在 $\mathrm{r}$ 个向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$, 满 足 (1) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots$, 线性无关
(2)V中任一向量都可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 线性表示, 称 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 为向量空间 $V$ 的一组基, $r$ 称为 $V$ 的 维数, $\mathrm{V}$ 称为 $\mathrm{r}$ 维向量空 间.
齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \quad \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 记 $\mathbf{A}=\left[a_{i j}\right]_{m \times n} \quad \mathbf{x}=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{T}$ 写成向量形式为 $\mathbf{A x}=\mathbf{0}$
若 $x_{1}=\xi_{11}, x_{2}=\xi_{21}, \cdots, x_{n}=\xi_{n 1}$ 为方程组地解, 则 $$ x=\xi_{1}=\left(\begin{array}{l} \xi_{11} \\ \xi_{21} \\ \vdots \\ \xi_{n 1} \end{array}\right) $$ 称为方程组的解向量, 它也就是向量方程 $A x=0$ 的解向量.
(1) 设 $\xi_{1}, \xi_{2}$ 是 $\mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 则 $\xi_{1}+\xi_{2}$ 是 $\mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 的解;
(2)设 $\xi$ 是 $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$ 的解, $\mathrm{k}$ 为实数, 则 $\mathrm{k} \xi$ 是 $\mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 的解. 若用 $\mathrm{S}$ 表示方程组地全体解向量所组成的集合, 则上述即为
(1) 若 $\xi_{1} \in S, \xi_{2} \in S$, 则 $\xi_{1}+\xi_{2} \in S$
(2) 若 $\xi_{1} \in S, k \in R$ 则 $k \xi_{1} \in S$ 这就说明集合 $S$ 对问量地线性运算是封闭的, 所以集合 $S$ 是一 个向量空间, 称为齐次线性方程组的解空间.
$\mathrm{n}$ 元齐次线性方程组 $A_{m \times n} x=0$ 地全体解所构成地集合 $\mathrm{S}$ 是一个向量空间, 当系数矩阵的秩 $R\left(A_{m \times n}\right)=r$ 时, 解空间 $\mathrm{S}$ 地维数为 $n-r$.
解空间 $\mathrm{S}$ 的基又称为方程组的基础解系.