在知乎上看到一个有趣的问题，现将问题和一些答主的回答整理如下，详细可见参考资料。
问题¶
假设人（60kg）从一万米高空自由落体，空中不考虑低温或者诸多影响落地的因素。落地一瞬间大字型手脚张开最大面积接触棉花/羽绒。请问是否只要铺足够厚度就可以不受伤？如果是的话要铺多厚？（人必须在空中无阻挡下落一万米，避免有人回答铺9999米之类的答案）
分析¶
从万米高空跳下，除了受到重力外，还有浮力和空气阻力。落到到地面之前，能够达到受力平衡，此时速度不再发生变化
模型¶
变量、参数及符号¶
- $G$: 重力($N$)
- $f$: 浮力($N$)
- $F_C$: 空气阻力($N$)
- $\mathrm{S}$ 为人体横截面积($m^2$)
- $v$ 为平衡时的速度($m/s$)。
- $C$ 为风阻系数
- $\rho$ 为空气密度
- $\rho_{w}$ 为人体密度
- $g$: 重力加速度($m/s^2$）
当受力平衡时，重力=浮力+空气阻力 即$$G=f+F_{C}$$ $$m g=\rho g V+\frac{1}{2} C \rho S v^{2}$$ $$v=\sqrt{\frac{2 m g\left(1-\rho / \rho_{w}\right)}{C \rho S}}$$
当人从高处跳下时，人体的姿态对受力平衡时的速度也有影响。我们这里计算人跳下时的最低速度与最高速度。
最低速度¶
身体平躺下落时，阻力最大，受力平衡时速度最低。对于60kg的人，如果足够瘦，会有比较大的横截面积，预估为$$1.93\times 0.4=0.772 m^2$$
不同材料的风阻系数如下
这些风阻系数，是在理想情况下测得的。实质风阻受到雷诺数的影响，而雷诺数又和物体尺度、风速有着直接关系。 将人体模型近似为一个圆球（头），和多个圆柱体(身体四肢)构成 。 人体的理想风阻系数在 $0.5 \sim 0.8$ 之间，足够瘦的人俯身状态，风阻系数会偏大，不妨取0.7。 带入前面的公式，我们可以得到最低速度为： $v=41.05 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
最高速度¶
如果人体笔直落下，下坠过程中的风阻横截面积可以低至: $0.16 \times 0.4=0.064 m^2$ 风阻系数可近似取0.5。
可得最高平衡速度为： $$ v=168.68 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $$ 可以看出，最低速度和最大速度之间，相差达到了4倍。
接下来，计算让落下的人体不受伤，需要多厚的棉花/羽绒:
关于人体受到冲击力的安全范围，用 $10 \mathrm{~g}$ 的持续可承受的加速度明显是偏小的，人体在瞬间冲击，能接受更高的加速度。高空坠落的接触面是不可控的，应该参考要害部位所能承受的最大冲击。 人攀援时，坠落能够承受的最大绳索冲击是12KN（也即20倍重力加速度）。而汽车撞击实验中，人体胸腔能够承受的最大冲击时6.4 $\mathrm{KN}(10倍重力加速度$ 左右)。安全气垫的救援极限是6层楼最多 $20 \mathrm{~m}$ ，安全气垫厚度大约 $2.2 \mathrm{~m}$ 左右。如果下坠冲击 $1 \mathrm{~m}$ 左右，那么 受到的瞬间冲击也是20倍重力加速度。 可见，由于坠落时力量不可能均匀，安全冲击依旧需要在 $20 \mathrm{~g}$ 以下。 我们以20倍重力加速度作为极限。
那么: $\frac{1}{2} m v^{2}+m g h=F h$ $$ h=\frac{m v^{2}}{2(F-m g)}=\frac{v^{2}}{38 g} $$ 计算可得，人体在最小速度坠地时，要不受伤，棉花/羽线的有效缓冲高度为: $$ h=4.52 m $$ 这是一个极限取值，考虑到安全缓冲，棉花/羽绒的高度应该需要达到 $6 \mathrm{~m}$ 。 而且这些羽绒/棉花需要套足够松软的材料套起来。 如果是全部散状的一颗颗的棉花/羽绒，人体下坠时，强大的冲击可能导致棉花羽绒乱飞，效果大减， 这种情况，至少应该考虑10m厚度以上。 当人体头朝下达到 $168.68 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的最大速度，然后再大字型落地，需要的缓冲高度为: $$h=76.4m$$ 由于速度过快，考虑安全缓冲，需要100m的棉花或羽绒。
注意：以上仅供数学建模学习之用，不建议付诸实践。
参考资料：