数学的概念、公式、定理、问题、方法等数学知识都是由具体问题抽象出其物质性而得到 的纯粹形式化或量化的数学模型.

概念型数学模型

数学中的基本概念, 如整式、代数式、实数、向量、三角形、集合、导数、微分等, 基本上是客观事物或现象的直接抽象. 这类数学模型内容单纯, 很少单独解决实际问题, 它们是构造较复杂的数学模型的基础. 我们常称这类数学模型为概念型数学模型.

以导数概念为例，将导数概念与瞬时速度的概念加以比较, 容易看出, 两者的区别主要在于: 后者从属于运动这一特定的问题, 前者则由于舍弃了其他成分而仅仅着眼于量的关系的分析获得了更为普遍的意义: 它不仅适用于运动的研究—一瞬时速度即为路程函数关于时间的导数, 而且也适用于具有相同量性特征的一类问题, 如电流强度是电量关于时间的导数, 曲线在其上一点处切线的斜率则是纵坐标关于横坐标的导数等.
从而, 与瞬时速度这个物理学中的概念不同, 导数的概念就可看成一个模型, 它以纯数学的形式表明了一类事物或现象 (包括抽象事物) 所具有的共同的量性特征.

方法型数学模型

运用数学知识解决问题就是方法, 因而, 数学中的各种公式及其运算系统、各类方程及 其求解方法等是由对象间的数量关系抽象出来的, 它们也分别构成了数学模型.

对于方程就有代数方程、函数方程、微分方程等. 运用这些公式、运算系统以及方程可直接解决学习、工 作、生产、科研等各方面的实际问题. 人们在解决一类问题中可采用的共同的手段或计策也构成数学模型. 我们常称这些数学模型为方法型数学模型.

以数形结合问题为例,关键即在于通过建立直角坐标系把原来的几何问题转化成了代数(计算) 问題. 由于建立直角坐标系事实上也是一种映射, 即是在点(曲线) 与数组 (方法) 之间建立了对应关系, 因此,这种方法的头质是通过建立适当的直角坐标系,把几何关系问题映射为代数关系问题,然后通过代数运算, 求出未知儿何关系的某种代数关系式, 把这关系反演,便解决了原来的某个几何关系问题.

通过映射、反演不仅较容易地解决了原来的问题, 而且建立了 一个普遍的模式 (或者说一种普迵的方法): 在一个数学问题里, 常有一些已知元素与未知元素(都称为“原象"), 它们之间有一定的关系, 我们希望由此求解得末知元素. 如果直接求解比较难或繁, 可寻找一个映射, 把“原象关系” 映射成“映象关系”, 通过映象关系求得未知元素的映象,最后以未知元素的映象通过 “反演” 求解得未知元素。

结构型数学模型

以数学对象为原型, 再抽象所得到的数学模型, 我们常称这类模型为结构型数学模型. 例如,一些组合而成的基本图形、一些抽象的函数式、一些数学定理、解数学题的数学思想方法等都可以看作是这类结构型模型; 又例如, 从一笔画抽象出来的研究点、线结合关系的图论模型, 也可以说是一种结构型模型. 在高等数学中, 这样的模型就更多了, 如群,环、域、线 性空间、拓扑空间等. 像这类在组合与抽象概念的基础上产生出来的数学分支, 各自形成逻辑系统, 以形成不同的数学结构, 抽象出不同的结构型数学模型.

另外, 以其他学科的问题作为原型, 化为数学问题, 构成一个数学模型, 这个数学模型如 果是某个方法型或结构型数学模型的一部分 (或称为子模型), 则可利用已获得的数学手段 得其数学结果, 最后将此数学结果还原为原来学科的内容; 如果它不是已有的数学模型的一 部分, 那么所获得的是一个新的数学模型, 这就有待逻辑地建立起它的理论.

通过切断与现实原型的联系而使数学知识获得了独立的存在性, 也正因为如此, 相对于所说的现实原型而言, 通过数学抽象而形成的数学概念或理论、公式、定理、问题和方法就具 有更为普遍的意义; 它们所反映的已不是某一特定事物或现象的量性或形式特征, 而是一类 事物或现象在量的方面或形式方面的共同特征. 从而, 数学知识事实上就是一个个数学模 型. 正如怀特海 (A. N. Whitehead) 所指出的: “数学就是对于模式的研究. " 以及哈代 (G. Hardy) 把数学家称之为 “模式的巨匠”, 不过, 这里的“模式” 比“模型” 具有更大的普遍性和概括性.

因而, 我们学习数学知识, 就是学习前人给我们建立的一个个数学模型和怎样建立数学模型的思想方法, 以便应用数学模型解决数学问题以及实际问题, 并善于在实际问题中建立数学模型以转化为数学问题而求解.

• 摘自 沈文选、杨清桃 《数学建模尝试》