数学模型是表达自然科学概念的一种重要手段. 物理学中有许多概念用语言来阐述是很难说清楚的, 但用数学表达式却可以清晣而准确地表达它们. 例如, 瞬时速度, 在没有引进微积分之前, 它只能解释成 “单位时间内所走过的路程”, 这对于变速运动就不合适了. 把瞬时速度解释成“假想从某个时刻起物体做匀速运动, 此时的平均速度就是瞬时速度” 这样的叙述也是含混不清的. 在有了微积分之后, 瞬时速度可定义为路程 (位移) 函数对时间的导数 .

显然用导数来表达僢时速度就比较清楚和准确, 又如物理学中的 另一概念一一功, 初等数学的观点认为功等于力与物体在力的方向上通过的距离的乘积, 这对于物体受到常力作用且做直线运动的情况是合适的, 但对受到变力和曲线运动就不适用. 在初等数学的范围, 这个概念是说不清楚的, 要更新这个概念, 就需要用到高等数学的知识. 功可以定义为力 (函数) 沿运动曲线的曲线积分. 类似的例子是很多的, 可见数学模型 （式子）在表达概念方面起着重要的作用.

随着电子计算机的发展,许多学科的计算分支都在迅速发展,这就需要建立有关系统的数学模型. 换句话说, 数学模型是发展各学科计算分支的必不可少的条件. 例如, 物理学传统分为理论物理和实验物理两大分支, 它们相辅相成地推动着整个物理学科的发展. 但也有许多问题在这两种范围内很难获得满意的解决. 如研究太阳的演化, 从理论上它涉及核反应过程、光子输运过程,物质状态变化过程等, 问题极为复杂, 想用理论分析的办法, 求解这类 问题也是稁无办法的. 用实验的办法也是不行的, 实验室无法模拟如此庞大而复杂的现象. 又如流体力学问题, 它牵涉到质量、能量与动量三个守恒定律以及关于压强、密度、温度之间物态方程. 这些方程虫能推导出来, 但求解这组非线性偏微分方程也是很困难的. 类似于这 样的问题是很多的,如安象、海洋等方面的一些问題,由于情况复杂, 很难从理论上或从模拟 实验方面获得很好的解决. 电子计算机的问世, 促进了物理学的第三个分支一计算物理 学的出现和发展,计算物理学现已在天体问题、流体力学问题等许多领域中取得进展. 要对 有关物理问题进行计算, 必顺先建立该问题的数学模型,没有数学模型, 计算就不可能进行.

在人类科学史上出现过几位巨人, 牛顿、爱因斯坦、海森堡就是数学模型造就的三位巨 人.

牛顿将力学法则 (即三大定律) 用单纯的数学式表达出来了,第一次给出了整个物理世界的统一的图景. 按照这个法则与由他创始的微积分方法,能够通过计算求出从地球的潮汐张落、流体运动、摆的周期直到天体中行星的运动. 牛顿力学就是以这种意义与数学密切地 结合在一起的. 所以.一位著名的科学史专家说: “科学产生于用数学解释自然这一信念. ” 自从牛顿才学有了光辉的成就以来, 在包含物理学在内的自然科学领域中出现了一种趋势:致力于用单纯的数学式表示自然法则, 求出它的解,并与实验和观测结果相比较去理解现象. 例如,费马的“光沿着所需通过时间最小的路径前进” 这一光学原理是用变分法表示的, 也是作为哈密尔顿最小原理的一个力学原理的表述. 像这样在自然科学中出现了尽可能用单纯的数学式与最小限剫的法则去解译现象的倾向, 以至于电磁学、光学、热力学 点, 就可以说在这些领域, 没有数学化就谈不上科学化.

爱因斯坦的相对论的建立, 是数学一方面帮助他解放了思想,另一方面提供了理论框桇. 青少年时期的爱因斯坦十分欣赏欧几里得的几何、牛顿的力学和麦克斯韦的电磁学, 作为他研究相对论的起点, 正是从对欧几里得几何提出了疑问, 对牛顿力学和麦克斯韦方程组的不尽完善、不够满意开始的. 在欧氏几何和牛顿力学那里,空间和时间都是绝对的,那么其中的那些假设是“绝对" 的吗？他又受欧氏几何的启发,这应当以最原始、最少的假设出发, 那么,从逻辑上讲,能不能从更为原始的假设前提出发来演绎呢? 这正是爱因斯坦狭义相对论所考虑的问题. 后来, 他发现，在速度接近光速时, 时间、空间、质量等再不是绝对不变的了,而是成了具有相对性的东西: 质量可以䢐时间而变化,空间可以变小,时间可以变长,可以说欧氏几何的公理化模型方法使得他用最少的两条公理(相对性原理和光速不变原理) 做出发点进行演绎, 同时数学上的四维张量模型也为爱因斯坦提供了有力的工具, 于是, 爱因斯坦建立了狭义相对论.

爱因斯坦对其狭义相对论仍感到不完全满意. 因为狭义相对论在同其他运动状态相比较时,仍保留了惯性系运动状态的特殊地位. 他认为,美妙的物理理论, 不应当区分任何特别 优越的运动状态. 从自然规律表述的观点看, 对于任何一个参照系, 它同其他参照系都应是等效的. 因此在有限的尺度内一般不存在物理学上需要特别看待的运动状态. 自然规律应当可以通过一组特殊的坐标选择, 便这些规律不做实质性变化.

爱因斯坦在解决上述问题时,也是数学帮了他的忙, 是黎曼几何为其建立广义相对论提 的鮑耶・雅诺什父子) 手下独立地埏生了, 表明了我们所研究的几何空间除欧几里得空间外, 还有别的空间, 大数学家黎曼在他的名著《论作为几何基础的假设》一文中的结束语中说: "这里我们已经进人了另一门科学即物理学的领域, 我们的讲演的性质使我们不能再深入一步了. " 爱因斯坦认真研究了黎曼和另外一些数学家的著作, 从中受益, 爱因斯坦自己说,影响他最深的是黎曼的协变理论模型, 黎曼的协变理论模型讲的是一种非线性坐标变 换. 一个在惯性系里不受力作用的质点, 在四维空间里如果要用直线表示, 那么此直线是一测地线, 其长度可用线元度量. 在狭义相对论中, 是准欧氏测度, 即线元 的平方是坐标微分的某种二次函数, 此函数各项系数均为常数. 在广义相对论中, 则是黎曼测度, 它的方程在 坐标的非线性变换情况下, 其形式保持不变, 而此时 ds 的平方仍是坐标微分的齐次函数, 但系数不再是常数, 而与坐标相关了. 由此他完成了广义相对论的建立. 一句话,非欧几何成了描述广义相对论的数学工具。正如黎曼在他的著作中所说的: “数学帮助物理学的研究不会受到过分局限的概念之妨害, 而且不会因传统定见而难于理解事物的联系".

相对论使引力理论建立在十分简单的基础上, 使质量与能量统一起来 , 使惯 与电磁场统一起来. 爱因斯坦开始怀疑可能存在着两种根本不同的空间结构, 他又一次试图用数学模型去探索解决重大问题的方案.

爱因斯坦认为, 理论物理学家在描述各种关系时, 要求尽可能达到最高标准的严格精确性, 而这样的标准只有找到并运用数学模型才能达到.

海森堡的量子力学的建立也是自然科学与数学模型这种关系的光辉例证. 量子现象在20世纪初就进入到了人们的视野。但是当时的物理学家还不能理解微观世界的物理规律与宏观世界的如此不同, 总是对经典物理的框架加上一些修补, 因此不能得到深刻的系统的了解. 微观世界有一个非常奇特的现象, 称为测不准原理, 例如一个电子我们可以多次测均值, 大家可能觉得似乎在经典物理领域中也是一样, 没有什么奇怪. 可是在微现世界中, 不论怎样改进仪器, 位置误差的平均值乘以动量误差的平均值大于或等于 , 是一个十分重要的常数, 称为普朗克常数. 这样一来, 位置和动量不可能同时都相当准确地被测量.位置误差平均值越小, 动量误差的平均值就越大, 这就叫测不准原理. 这是一个使物理学家十分困感的原理, 怎样去理解它呢? 量子力学的创始人海森保找到了一种奇怪的东西, 奇怪就在于这种乘法是不可交换的! , 这是什么东西呢? 海森㐿去请教他的一位惲数学 的老师波恩, 波恩也大惊失色, 原来海森堡找到的东西在数学上早就有了(至少早70年), 叫 作矩阵. 测不准原理正是矩阵乘法不可交换的结果. 海森保接受了用矩阵来表示物理量, 从 而测不准原理就清楚了.于廹微观世界的物理学一一量子力学就建立起来了. 数学模型的方法就是这样来更新物理概念, 就是这样在冗长的数学推导或计算之后来 帮助抓住清楚的物理形象.