建立数学模型的一般要求

一般地,建立数学模型有如下要求:
(1) 足够的精度, 即要求把本质的关系和规律反映进去,把非本质的去掉.
(2) 简单, 便于处理, 过于复杂, 则无法求解或求解困难.
(3) 依据要充分, 即要依据科学规律、客观规律来建立公式和图表或算法等.
(4) 尽量借鉴标准形式.
(5) 模型所表示的系统要能操纵和控制,便于检验和修改.

建立数学模型的一般步骤

一个实际问题往往是很复杂的, 而影响它的因素总是很多的. 如果想把它的全部影响因 素 (或特征) 都反映到模型中来, 这样的模型很难甚至无法建立, 即使建立也是不可取的, 因 为这样的模型太复杂, 很难进行数学处理和计算. 但仅考虑易于数学处理, 当然模型越简单 越好, 不过这样做又难于反映系统的有关主要特性. 通常所建立的模型往往是这两种互相矛 盾要求的折中处理.
建模是一种十分复杂的创造性劳动, 现实世界中的事物形形色色, 五花八门, 不可能用一些条条框框规定出各种模型如何建立. 这里所说的步骤仅是一种大体上的规范, 读者应具 体问题具体分析, 灵活运用, 边干边创造. 现结合前面的实例及流程图, 大致归纳一下建模的 一般步骤.

(1) 模型准备.

了解问题 (事件或系统) 的实际背景, 明确建模的目的. 分析、研究问题的各种信息如数 据资料等, 弄清问题的特征. 为了做好准备, 有时要求建模者做一番深人细致的调查研究, 碰 到疑问要虚心向有关方面的专家、能人请教, 掌握第一手资料, 并将面临建模问题的周围种 种事物区分为不重要的、局外的、局内的等部分, 想象问题的运动变化情况, 用非形式语言 (自然语言) 进行描述, 初步确定描述问题的变量及相互关系.

(2) 模型假设.

根据实际对象的特征和建模目的, 在掌据必要资料的基础(诸如确定问题的所属系统 (例如力学系统、生态系统、管理系统等)、模型的大概类型(如离散模型、连续模型、随机模 型等) 以及描述这类系统所用的数学工具(即数学形式或数学方法)) 上, 提出假说, 对问题 进行必要的简化, 并且用精确的数学语言来描述, 这是建模的关键一步. 没有科学的假设, 人 们对现实世界的感性认识就不可能上升到理性的阶段. 不同的简化和假设会得到不同的模 型. 假设做得不合理或过分简单, 会导致模型的失败或部分失败,于是应该修改和补充假设; 假设做得过于详细, 考虑的因素过多, 会使模型太复杂而无法进行下一步工作. 所以, 重要的 是,要善于辨别问题的主次, 果断地抓住主要因素,抛弃次要因素, 尽量将问题均匀化、线性 化.

(3) 模型建立.

根据所做的假设, 利用适当的数学工具刻画各变量之间的关系, 建立相应的数学结构 (公式、表格、图形等). 在建模时究竟采用什么数学工具要根据问题的特征、建模的目的要 求及建模者的数学特长而定. 数学的任一分支在建立各种模型时都可能用到, 而同一实际问 题也可以采用不同的数学方法建立起不同的模型. 但应逻循这样一个原则, 尽量采用简单的 数学工具, 以便得到的模型被更多的人了解和使用.

(4) 模型求解.

根据采用的数学工具对模型求解,包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论 等, 要求建模者揫握相应的数学知识, 尤其是计算机技术、计算技巧.

(5) 模型分析.

对模型求解的结果进行数学上的分析, 有时是根据问题的性质, 分析各变量之间的依赖 关系或稳定状态; 有时是根据所得结果给出数学上的预测; 有时是给出数学上的最优决策或 控制.

(6) 模型检验.

将模型分析的结果 “翻译” 回实际对象中, 用实际现象、数据等检验模型的合理性和适 用性, 即验证模型的正确性. 通常, 一个较成功的模型不仅应当能解释已知现象, 还应当能预 言一些末知的现象, 并能被实践所证明. 如牛顿创立的万有引力定律模型就经受了对哈雷彗 星的研究、海王星的发现等大量事实的考验,才被证明是完全正确的. 应该说,模型检验对于 模型的成败至关重要, 必不可少. 当然,如核战模型就不可能要求接受实际的检验了.

如果检验结果与实际不符或部分不符, 或者不如你预期的那样精确, 最好试着去弄清原 因, 揭露出隐蔽的错误或求解失误, 如果肯定建模和求解过程中无误的话,一般讲, 问题出在 模型假设上, 就应该修改或补充假设, 重新建模. 在检验时完全依赖常识是不妥的, 因为常识 可能恰好是错误的. 如果检验结果正确, 满足问题所要求的精度, 认为模型可用, 便可进行最 后一步 一一“模型应用”了.

(7) 模型应用.

最后, 我们还须指出的是, 应用是进一步的检验. 在应用模型时, 要是盲目地把这模型用 于同检验时所用的䢛然不同的问题上,那是危险的,每一次应用都应看作是对模型的一次检 验. 在模型的应用检验分析中, 更要特别注意第二步的假设化简, 模型的精度往往与明确什 么因素是可以忽略的, 与弄清某些局外变量精确的程度密切相关. 有时把一些性质相同或相 似的变量合并, 有时把非主要的或暂时的变量看作常量, 把连续变量看作离散变量或反过 来, 有时实现视角的转换, 或改变变量之间的函数关系等, 以达到建立的数学模型切实是对原型的某个(或一些) 方面不失真的近似反映.

摘自

• 沈文选、杨清桃 数学建模尝试